Questão 8)
O foguete Saturno V, que lançou a nave Apolo 11 em 16/07/1969 no primeiro voo tripulado à Lua, tinha, no momento de sua arrancada, massa total de 2,77 mil toneladas e seu primeiro estágio, S-IC, levava 1,96 mil toneladas de combustível, que era ejetado à velocidade relativa de 2,58 \mathrm{~km} / \mathrm{s} e à taxa de 12,9 toneladas por segundo.
a) Qual era o empuxo do estágio S-IC?
b) Qual foi a aceleração do foguete logo após seu lançamento
c) Qual foi a aceleração do foguete ao esgotar-se o combustível do estágio S-IC?
d) Se não fosse a gravidade da Terra, qual seria a velocidade do foguete ao esgotar-se o combustível do seu primeiro estágio?

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei estes números do enunciado):
  • massa total no lançamento: m_0 = 2{,}77\\ \text{mil toneladas} = 2{,}77\times10^{3}\\ \text{t} = 2{,}77\times10^{6}\\ \mathrm{kg}.
  • massa de combustível do estágio S-IC: m_{\text{comb}} = 1{,}96\\ \text{mil toneladas} = 1{,}96\times10^{6}\\ \mathrm{kg}.
  • velocidade relativa de ejeção dos gases (velocidade de exaustão): v_e = 2{,}58\\ \mathrm{km/s} = 2580\\ \mathrm{m/s}.
  • taxa de ejeção de massa (vazão mássica): \dot{m} = 12{,}9\\ \text{t/s} = 12{,}900\\ \mathrm{kg/s}.
  • aceleração da gravidade: vou usar g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
O enunciado pergunta:
(a) o empuxo do estágio S-IC;
(b) a aceleração do foguete logo após o lançamento;
(c) a aceleração quando o combustível do S-IC se esgotou;
(d) a velocidade do foguete ao esgotar-se o combustível do primeiro estágio, se não existisse gravidade da Terra.

Passo 2

Calcular o empuxo (força de reação) do motor. Conceito e fórmula: o empuxo (força) gerado pelo jato é dado, em primeira aproximação, pela vazão mássica multiplicada pela velocidade de exaustão relativa:
F = \dot{m}\,v_e.
Aqui \dot{m} está em \mathrm{kg/s} e v_e em \mathrm{m/s}, então F vem em newtons \mathrm{(N)}.
Substituindo os valores:
F = 12{,}900\\ \mathrm{kg/s}\times 2580\\ \mathrm{m/s}.
Vamos multiplicar passo a passo:
12{,}900\times 2580 = 12{,}900\times(2{,}580) = 33\,282\,000.
Portanto
F = 33\,282\,000\\ \mathrm{N} = 3{,}3282\times10^{7}\\ \mathrm{N}\approx 33{,}3\\ \mathrm{MN}.

Passo 3

Aceleração logo após o lançamento. Conceito: pelas leis de Newton, a aceleração resultante é dada pela força resultante dividida pela massa total. A força resultante vertical para cima é o empuxo menos o peso do foguete:
F_{\text{res}} = F - m_0 g.
A aceleração é
a_0 = \frac{F_{\text{res}}}{m_0} = \frac{F}{m_0} - g.
Substituindo os números (já calculamos F e conhecemos m_0):
\frac{F}{m_0} = \frac{33\,282\,000}{2{,}77\times10^{6}} \\ \mathrm{m/s^2} \approx 12{,}02\\ \mathrm{m/s^2}.
Logo
a_0 = 12{,}02 - 9{,}81 = 2{,}21\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação rápida: logo no lançamento o foguete tem uma aceleração para cima de cerca de 2{,}21\\ \mathrm{m/s^2}, pouco acima de 0{,}225\\ g.

Passo 4

Massa do foguete ao esgotar-se o combustível do primeiro estágio. Essa massa é a massa total inicial menos a massa de combustível que foi consumida:
m_{\text{final}} = m_0 - m_{\text{comb}} = 2{,}77\times10^{6} - 1{,}96\times10^{6} = 0{,}81\times10^{6}\\ \mathrm{kg} = 810{,}000\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Aceleração ao esgotar-se o combustível do S-IC. Usamos a mesma expressão do Passo 3, mas com a massa reduzida m_{\text{final}}:
a_{\text{burnout}} = \frac{F}{m_{\text{final}}} - g.
Calcular \dfrac{F}{m_{\text{final}}}:
\frac{33\,282\,000}{810{,}000}\\ \mathrm{m/s^2} \approx 41{,}11\\ \mathrm{m/s^2}.
Portanto
a_{\text{burnout}} = 41{,}11 - 9{,}81 = 31{,}30\\ \mathrm{m/s^2}.
Isso corresponde a cerca de 3{,}19\\ g (ou seja, a aceleração é já várias vezes a gravidade terrestre).

Passo 6

Velocidade adquirida sem a gravidade da Terra (variação de velocidade devido à ejeção de massa). Aqui usamos a equação do foguete ideal (equação de Tsiolkovsky). Explicação curta e intuitiva: quando um corpo lança massa com velocidade relativa v_e, a velocidade do conjunto muda conforme a massa diminui; integrando a conservação de momento obtém-se que a variação de velocidade é
\Delta v = v_e \ln\!\left(\frac{m_0}{m_{\text{final}}}\right).
Nesta fórmula:
  • v_e é a velocidade efetiva de exaustão dos gases relativa ao foguete (em \mathrm{m/s});
  • m_0 é a massa inicial (antes da queima do combustível do estágio);
  • m_{\text{final}} é a massa final (após queimar esse combustível);
  • \ln é o logaritmo natural.
A derivação básica (sem cálculo formal aqui) vem de considerar um pequeno elemento de massa dm expelido com velocidade relativa -v_e e aplicar conservação do momento, resultando na integral \int dv = v_e\int d m/m, que dá a expressão acima.

Passo 7

Aplicar a fórmula do Passo 6 com os números:
\frac{m_0}{m_{\text{final}}}=\frac{2{,}77\times10^{6}}{0{,}81\times10^{6}} \approx 3{,}4198.
Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{m_0}{m_{\text{final}}}\right)\approx \ln(3{,}4198)\approx 1{,}23.
Logo a variação de velocidade (sem gravidade) é
\Delta v = 2580\\ \mathrm{m/s}\times 1{,}23 \approx 3{,}17\times10^{3}\\ \mathrm{m/s} = 3170\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) F = 3{,}3282\times10^{7}\\ \mathrm{N}\\ \approx 33{,}3\\ \mathrm{MN}
(b) a_{0} \approx 2{,}21\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) a_{\text{burnout}} \approx 31{,}3\\ \mathrm{m/s^{2}}
(d) \Delta v \approx 3{,}17\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}

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