Questão 8)
O foguete Saturno V, que lançou a nave Apolo 11 em 16/07/1969 no primeiro voo tripulado à Lua, tinha, no momento de sua arrancada, massa total de 2,77 mil toneladas e seu primeiro estágio, S-IC, levava 1,96 mil toneladas de combustível, que era ejetado à velocidade relativa de
e à taxa de 12,9 toneladas por segundo.
a) Qual era o empuxo do estágio S-IC?
b) Qual foi a aceleração do foguete logo após seu lançamento
c) Qual foi a aceleração do foguete ao esgotar-se o combustível do estágio S-IC?
d) Se não fosse a gravidade da Terra, qual seria a velocidade do foguete ao esgotar-se o combustível do seu primeiro estágio?
O foguete Saturno V, que lançou a nave Apolo 11 em 16/07/1969 no primeiro voo tripulado à Lua, tinha, no momento de sua arrancada, massa total de 2,77 mil toneladas e seu primeiro estágio, S-IC, levava 1,96 mil toneladas de combustível, que era ejetado à velocidade relativa de
a) Qual era o empuxo do estágio S-IC?
b) Qual foi a aceleração do foguete logo após seu lançamento
c) Qual foi a aceleração do foguete ao esgotar-se o combustível do estágio S-IC?
d) Se não fosse a gravidade da Terra, qual seria a velocidade do foguete ao esgotar-se o combustível do seu primeiro estágio?
Passo 1
O enunciado nos dá (peguei estes números do enunciado):
- massa total no lançamento:
. - massa de combustível do estágio S-IC:
. - velocidade relativa de ejeção dos gases (velocidade de exaustão):
. - taxa de ejeção de massa (vazão mássica):
. - aceleração da gravidade: vou usar
.
O enunciado pergunta:
(a) o empuxo do estágio S-IC;
(b) a aceleração do foguete logo após o lançamento;
(c) a aceleração quando o combustível do S-IC se esgotou;
(d) a velocidade do foguete ao esgotar-se o combustível do primeiro estágio, se não existisse gravidade da Terra.
(a) o empuxo do estágio S-IC;
(b) a aceleração do foguete logo após o lançamento;
(c) a aceleração quando o combustível do S-IC se esgotou;
(d) a velocidade do foguete ao esgotar-se o combustível do primeiro estágio, se não existisse gravidade da Terra.
Passo 2
Calcular o empuxo (força de reação) do motor. Conceito e fórmula: o empuxo (força) gerado pelo jato é dado, em primeira aproximação, pela vazão mássica multiplicada pela velocidade de exaustão relativa:
Aqui
está em
e
em
, então
vem em newtons
.
Substituindo os valores:
Vamos multiplicar passo a passo:
Portanto
Passo 3
Aceleração logo após o lançamento. Conceito: pelas leis de Newton, a aceleração resultante é dada pela força resultante dividida pela massa total. A força resultante vertical para cima é o empuxo menos o peso do foguete:
A aceleração é
Substituindo os números (já calculamos
e conhecemos
):
Logo
Interpretação rápida: logo no lançamento o foguete tem uma aceleração para cima de cerca de
, pouco acima de
.
Passo 4
Massa do foguete ao esgotar-se o combustível do primeiro estágio. Essa massa é a massa total inicial menos a massa de combustível que foi consumida:
Passo 5
Aceleração ao esgotar-se o combustível do S-IC. Usamos a mesma expressão do Passo 3, mas com a massa reduzida
:
Calcular
:
Portanto
Isso corresponde a cerca de
(ou seja, a aceleração é já várias vezes a gravidade terrestre).
Passo 6
Velocidade adquirida sem a gravidade da Terra (variação de velocidade devido à ejeção de massa). Aqui usamos a equação do foguete ideal (equação de Tsiolkovsky). Explicação curta e intuitiva: quando um corpo lança massa com velocidade relativa
, a velocidade do conjunto muda conforme a massa diminui; integrando a conservação de momento obtém-se que a variação de velocidade é
Nesta fórmula:
-
é a velocidade efetiva de exaustão dos gases relativa ao foguete (em ); -
é a massa inicial (antes da queima do combustível do estágio); -
é a massa final (após queimar esse combustível); -
é o logaritmo natural.
A derivação básica (sem cálculo formal aqui) vem de considerar um pequeno elemento de massa
expelido com velocidade relativa
e aplicar conservação do momento, resultando na integral
, que dá a expressão acima.
Passo 7
Aplicar a fórmula do Passo 6 com os números:
Calcular o logaritmo:
Logo a variação de velocidade (sem gravidade) é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)