Questão 7)
Um avião voa na horizontal à altitude h=500 \mathrm{~m} com velocidade \mathrm{v}_{0}=360 \mathrm{~km} / \mathrm{h} quando se parte em duas partes de massas iguais. Um dos fragmentos do avião cai em um ponto 300 m à frente do ponto da explosão. Os dois fragmentos atingem o solo ao mesmo tempo. Ignorando o atrito do ar, determine o ponto onde cai o outro fragmento.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Altitude do avião: h=500\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade horizontal do avião antes da explosão: v_0=360\\ \mathrm{km/h}.
  • O avião se parte em duas partes de massas iguais.
  • Um dos fragmentos cai a 300\\ \mathrm{m} à frente do ponto da explosão.
  • Os dois fragmentos atingem o solo ao mesmo tempo.
  • Ignorar atrito do ar.
    O que se pede: determinar o ponto (distância horizontal a partir do ponto da explosão) onde cai o outro fragmento.

Passo 2

Converter a velocidade inicial para unidades SI (metros por segundo), porque todas as demais grandezas estão em metros e segundos.
v_0 = 360\\ \mathrm{km/h} = 360\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 100\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Raciocínio físico e hipóteses usadas (explicação didática):
  • A explosão é um evento muito curto; forças internas entre fragmentos não trocam momento com o ambiente na direção horizontal durante o instante da explosão. Portanto, a componente horizontal do momento linear é conservada no instante da separação.
  • Antes da explosão a velocidade vertical de cada parte era zero (voo horizontal). Se os dois fragmentos atingem o solo ao mesmo tempo, então a duração do movimento vertical (tempo de queda) é a mesma para ambos. A maneira mais simples e habitual de interpretar isso é supor que a explosão não deu componentes verticais diferentes aos fragmentos (ou deu componentes verticais iguais), de modo que ambos continuam com velocidade vertical inicial igual a zero. Assim, o tempo de queda é o tempo de queda livre de um corpo largado do repouso verticalmente.
  • A queda livre (sem velocidade vertical inicial) satisfaz a equação de deslocamento vertical
h=\tfrac{1}{2}g t^2,
onde g é a aceleração da gravidade e t é o tempo de queda. Explicando as variáveis: h é a altura inicial (m), g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}), t é o tempo (s).

Passo 4

Calcular o tempo de queda t usando h=\tfrac{1}{2}g t^2. Adotar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 500}{9,8}}=\sqrt{\dfrac{1000}{9,8}}=\sqrt{102,040816\ldots}\approx 10,102\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Relacionar velocidades horizontais e posições:
  • Seja u_1 a velocidade horizontal do fragmento que cai a 300\\ \mathrm{m} e u_2 a velocidade horizontal do outro fragmento, ambas medidas imediatamente após a explosão.
  • Conservação do momento linear horizontal (masas iguais m e m): 2m v_0 = m u_1 + m u_2, que simplifica para
u_1 + u_2 = 2v_0.
  • Os deslocamentos horizontais até o impacto são x_1=u_1 t e x_2=u_2 t. Sabendo x_1=300\\ \mathrm{m}, temos
u_1=\dfrac{x_1}{t}=\dfrac{300}{t}.

Passo 6

Calcular u_1 numericamente e, a seguir, u_2:
u_1=\dfrac{300}{10,102}\approx 29,703\\ \mathrm{m/s}.
Usando u_1+u_2=2v_0=200\\ \mathrm{m/s},
u_2=200-u_1\approx 200-29,703=170,297\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a posição x_2 do outro fragmento:
x_2=u_2 t \approx 170,297\cdot 10,102 \approx 1720\\ \mathrm{m}.
Também é útil um cheque de consistência: o centro de massa continua com velocidade v_0, então a posição média (x_1+x_2)/2 deve ser v_0 t. Aqui
\dfrac{300+1720}{2}=1010 = v_0 t \approx 100\cdot 10,102=1010,2,
compatível com pequenos efeitos de arredondamento.

Passo 8

Interpretação final: o outro fragmento cai mais adiante, à distância calculada do ponto da explosão.

Resposta

1720\\ \mathrm{m}

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