Questão 6)
Um avião, cuja massa vale 10.000 kg , viaja com velocidade \mathbf{v}_{0}=400 \mathrm{i} \mathrm{km} / \mathrm{h} quando explode em três pedaços. Imediatamente após a explosão, o primeiro fragmento, com massa de 3.000 kg , tem velocidade \mathbf{v}_{1}=800 \mathrm{i} \mathrm{km} / \mathrm{h}; o segundo fragmento, com massa de 5.000 kg , tem velocidade \mathbf{v}_{2}=200 \mathbf{j}+200 \mathbf{k ~ k m} / \mathrm{h}. Qual é a velocidade do terceiro fragmento logo após a explosão?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a velocidade do terceiro fragmento imediatamente após a explosão.
Dados (pegos do enunciado):
  • Massa total do avião: m_0=10000\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do avião: \mathbf{v}_0=400\,\mathbf{i}\\ \mathrm{km/h}.
  • Primeiro fragmento: massa m_1=3000\\ \mathrm{kg}, velocidade \mathbf{v}_1=800\,\mathbf{i}\\ \mathrm{km/h}.
  • Segundo fragmento: massa m_2=5000\\ \mathrm{kg}, velocidade \mathbf{v}_2=200\,\mathbf{j}+200\,\mathbf{k}\\ \mathrm{km/h}.
O que se pede:
  • Determinar a velocidade \mathbf{v}_3 do terceiro fragmento logo após a explosão.

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática):
  • Em um sistema isolado (explosão interna), a quantidade de movimento (ou momento linear) total é conservada. Isso significa que a soma dos momentos antes da explosão é igual à soma dos momentos depois da explosão.
  • O momento linear de um corpo é \mathbf{p}=m\,\mathbf{v}, onde m é a massa e \mathbf{v} é a velocidade (vetor).
  • Portanto vale a equação vetorial:
\sum \mathbf{p}_{\text{antes}}=\sum \mathbf{p}_{\text{depois}}.
  • No caso:
\mathbf{p}_0 = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2+\mathbf{p}_3,
onde \mathbf{p}_3 é o momento do terceiro fragmento e \mathbf{p}_i = m_i\mathbf{v}_i.
Observação sobre unidades:
  • As velocidades estão em \mathrm{km/h} e as massas em \mathrm{kg}. Pode-se usar essas unidades diretamente (resultado em \mathrm{kg\cdot km/h} para momentos e em \mathrm{km/h} para velocidades após dividir por massa). Não é necessário converter para \mathrm{m/s} se todas as velocidades utilizarem a mesma unidade.

Passo 3

Calcular o momento inicial \mathbf{p}_0:
\mathbf{p}_0 = m_0\mathbf{v}_0 = 10000\cdot 400\,\mathbf{i} = 4\times 10^{6}\,\mathbf{i}\quad(\mathrm{kg\cdot km/h}).

Passo 4

Calcular os momentos dos fragmentos 1 e 2:
\mathbf{p}_1 = m_1\mathbf{v}_1 = 3000\cdot 800\,\mathbf{i} = 2{,}4\times 10^{6}\,\mathbf{i}.
\mathbf{p}_2 = m_2\mathbf{v}_2 = 5000\cdot(200\,\mathbf{j}+200\,\mathbf{k}) = 1{,}0\times 10^{6}\,\mathbf{j}+1{,}0\times 10^{6}\,\mathbf{k}.

Passo 5

Usar conservação do momento para obter \mathbf{p}_3:
\mathbf{p}_3 = \mathbf{p}_0 - \mathbf{p}_1 - \mathbf{p}_2.
Substituindo os valores:
\mathbf{p}_3 = (4{,}0\times10^{6}\,\mathbf{i}) - (2{,}4\times10^{6}\,\mathbf{i}) - (1{,}0\times10^{6}\,\mathbf{j}+1{,}0\times10^{6}\,\mathbf{k}).
Calculando componente a componente:
\mathbf{p}_3 = 1{,}6\times10^{6}\,\mathbf{i} - 1{,}0\times10^{6}\,\mathbf{j} - 1{,}0\times10^{6}\,\mathbf{k}.

Passo 6

Determinar a massa do terceiro fragmento m_3:
m_3 = m_0 - m_1 - m_2 = 10000 - 3000 - 5000 = 2000\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Calcular a velocidade \mathbf{v}_3 dividindo \mathbf{p}_3 por m_3 componente a componente:
\mathbf{v}_3 = \frac{\mathbf{p}_3}{m_3} = \frac{1{,}6\times10^{6}}{2000}\,\mathbf{i} - \frac{1{,}0\times10^{6}}{2000}\,\mathbf{j} - \frac{1{,}0\times10^{6}}{2000}\,\mathbf{k}.
Fazendo as divisões:
\frac{1{,}6\times10^{6}}{2000}=800,\qquad \frac{1{,}0\times10^{6}}{2000}=500.
Portanto
\mathbf{v}_3 = 800\,\mathbf{i} - 500\,\mathbf{j} - 500\,\mathbf{k}\\ \mathrm{km/h}.

Passo 8

Interpretação final (mini-aula prática):
  • A velocidade do terceiro fragmento tem componente +800 na direção \mathbf{i} (mesma direção do movimento inicial), e componentes negativas -500 nas direções \mathbf{j} e \mathbf{k}, indicando que ele foi lançado com uma componente para baixo/para os lados nessas direções.
  • Em provas, siga sempre esse roteiro: escrever a conservação vetorial do momento, calcular momentos de cada peça, subtrair para achar o momento desconhecido e dividir pela massa desconhecida. Mantém tudo organizado e evita erros.

Resposta

\mathbf{v}_3 = 800\,\mathbf{i} - 500\,\mathbf{j} - 500\,\mathbf{k}\\ \mathrm{km/h}

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