QUESTÃO 5
Uma fonte de 1020 Hz , posicionada na boca de um tubo de ensaio vazio, provoca ressonância no harmônico fundamental Sabendo que o volume do tubo é 100 mL e que a velocidade do som no ar é
, determine o intervalo que contém o raio R do tubo, em cm .
(Dados: considere o tubo cilíndriço e
)
(Dados: considere o tubo cilíndriço e
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Frequência da fonte:
. - Volume do tubo (cilíndrico):
. (Lembrete: e .) - Velocidade do som no ar:
. - Adotar
.
O que o exercício pede: determinar o intervalo que contém o raiodo tubo, em centímetros.
Observações que já retiro do enunciado sem perguntar nada: o tubo é cilíndrico e a fonte, colocada na boca, provoca ressonância no harmônico fundamental. O enunciado não explicita se o outro extremo do tubo é aberto ou fechado — um tubo de ensaio normalmente tem uma extremidade fechada (fundo) e a boca aberta, mas vou tratar ambos os modelos físicos possíveis (tubo com uma extremidade fechada e tubo com as duas extremidades abertas) para obter um intervalo que certamente contém o raio real. Em passos seguintes vou justificar as fórmulas usadas e calcular os dois extremos do intervalo.
Passo 2
Entendendo as fórmulas de ressonância (aulas rápidas, sem pulo de etapas):
- Fundamental de um tubo com as duas extremidades abertas (modelo “aberto-aberto”): o comprimento do tubo
corresponde a meia-onda no modo fundamental, logo
Aqui:
-
é a frequência do harmônico fundamental (em ), -
é a velocidade do som (em ), -
é o comprimento do tubo (em ).
Essa fórmula vem da condição de nós e ventres: para o modo fundamental em tubo aberto-aberto a distância entre dois máximos consecutivos ée , com . - Fundamental de um tubo com uma extremidade fechada e outra aberta (modelo “fechado-aberto”, que é o caso típico de um tubo de ensaio): o comprimento do tubo
corresponde a um quarto de onda no modo fundamental, logo
Aqui a física é que a extremidade fechada exige nó de velocidade (ventre de pressão) e a extremidade aberta exige ventre de velocidade (nó de pressão), dando
.
Também precisamos da relação entre volume do cilindro, área da base e comprimento:
onde:
-
é o volume do tubo (em ), -
é o raio interno do tubo (em ), -
é o número pi (aqui usar como dado), -
é o comprimento do tubo (em ).
Estratégia: calcular
a partir de
e
para os dois modelos (aberto-aberto e fechado-aberto), depois usar
para encontrar
. Assim teremos dois valores possíveis de
; o intervalo entre eles contém o raio físico do tubo independentemente de ser aberto-aberto ou fechado-aberto.
Passo 3
Converter unidades do volume para o SI:
-
. - Em metros cúbicos:
.
Vou usar.
Passo 4
Caso 1 — tubo fechado em um extremo (fechado-aberto).
- Fórmula:
. Isolando :
- Substituindo os valores (usar TeX para os números):
(Perceba que
exato.)
- Agora usar
. Isolando :
- Substituindo
, e :
- Calculando:
- Convertendo para centímetros:
Portanto, se o tubo for fechado em um extremo, obtemos
Passo 5
Caso 2 — tubo com as duas extremidades abertas (aberto-aberto).
- Fórmula:
. Isolando :
- Substituindo:
- Usando
e isolando :
- Calculando:
- Numericamente, usando
, temos
Portanto, se o tubo for aberto nas duas extremidades, obtemos
Passo 6
Conclusão e interpretação final (intervalo que contém
):
- Como não foi explicitado no enunciado se o tubo tem as duas extremidades abertas ou se é fechado num extremo, o valor real do raio
deve ficar entre os dois valores calculados. O caso aberto-aberto dá o menor raio e o caso fechado-aberto dá o maior raio. - Assim o intervalo que contém
, em centímetros, é
(Usei
e as conversões de unidade conforme pedido; os números foram apresentados com três casas significativas quando apropriado.)
Força aí! Dá pra decorar esse raciocínio rápido: acha
pelo tipo de tubo com
ou
, depois usa
para achar
.