QUESTÃO 5
Uma fonte de 1020 Hz , posicionada na boca de um tubo de ensaio vazio, provoca ressonância no harmônico fundamental Sabendo que o volume do tubo é 100 mL e que a velocidade do som no ar é 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine o intervalo que contém o raio R do tubo, em cm .
(Dados: considere o tubo cilíndriço e \pi=3 )
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Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Frequência da fonte: \,f=1020\\ \mathrm{Hz}.
  • Volume do tubo (cilíndrico): \,V=100\\ \mathrm{mL}. (Lembrete: 1\\ \mathrm{mL}=1\\ \mathrm{cm}^3 e 1\\ \mathrm{cm}^3=10^{-6}\\ \mathrm{m}^3.)
  • Velocidade do som no ar: \,v=340\\ \mathrm{m/s}.
  • Adotar \pi=3.
    O que o exercício pede: determinar o intervalo que contém o raio R do tubo, em centímetros.
Observações que já retiro do enunciado sem perguntar nada: o tubo é cilíndrico e a fonte, colocada na boca, provoca ressonância no harmônico fundamental. O enunciado não explicita se o outro extremo do tubo é aberto ou fechado — um tubo de ensaio normalmente tem uma extremidade fechada (fundo) e a boca aberta, mas vou tratar ambos os modelos físicos possíveis (tubo com uma extremidade fechada e tubo com as duas extremidades abertas) para obter um intervalo que certamente contém o raio real. Em passos seguintes vou justificar as fórmulas usadas e calcular os dois extremos do intervalo.

Passo 2

Entendendo as fórmulas de ressonância (aulas rápidas, sem pulo de etapas):
  • Fundamental de um tubo com as duas extremidades abertas (modelo “aberto-aberto”): o comprimento do tubo L corresponde a meia-onda no modo fundamental, logo
f=\frac{v}{2L}.
Aqui:
  • \,f é a frequência do harmônico fundamental (em \mathrm{Hz}),
  • \,v é a velocidade do som (em \mathrm{m/s}),
  • \,L é o comprimento do tubo (em \mathrm{m}).
    Essa fórmula vem da condição de nós e ventres: para o modo fundamental em tubo aberto-aberto a distância entre dois máximos consecutivos é \lambda/2 e L=\lambda/2, com \lambda=v/f.
  • Fundamental de um tubo com uma extremidade fechada e outra aberta (modelo “fechado-aberto”, que é o caso típico de um tubo de ensaio): o comprimento do tubo L corresponde a um quarto de onda no modo fundamental, logo
f=\frac{v}{4L}.
Aqui a física é que a extremidade fechada exige nó de velocidade (ventre de pressão) e a extremidade aberta exige ventre de velocidade (nó de pressão), dando L=\lambda/4.
Também precisamos da relação entre volume do cilindro, área da base e comprimento:
V=\pi R^2 L,
onde:
  • \,V é o volume do tubo (em \mathrm{m}^3),
  • \,R é o raio interno do tubo (em \mathrm{m}),
  • \,\pi é o número pi (aqui usar \pi=3 como dado),
  • \,L é o comprimento do tubo (em \mathrm{m}).
Estratégia: calcular L a partir de f e v para os dois modelos (aberto-aberto e fechado-aberto), depois usar V=\pi R^2 L para encontrar R. Assim teremos dois valores possíveis de R; o intervalo entre eles contém o raio físico do tubo independentemente de ser aberto-aberto ou fechado-aberto.

Passo 3

Converter unidades do volume para o SI:
  • \,V=100\\ \mathrm{mL}=100\\ \mathrm{cm}^3.
  • Em metros cúbicos: \,100\\ \mathrm{cm}^3 = 100\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
    Vou usar \,V=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Caso 1 — tubo fechado em um extremo (fechado-aberto).
  • Fórmula: \,f=\dfrac{v}{4L}. Isolando L:
L=\frac{v}{4f}.
  • Substituindo os valores (usar TeX para os números):
L=\frac{340}{4\cdot 1020}=\frac{340}{4080}=\frac{1}{12}\\ \mathrm{m}=0{,}083333\ldots\\ \mathrm{m}.
(Perceba que 340/4080=1/12 exato.)
  • Agora usar V=\pi R^2 L. Isolando R:
R=\sqrt{\frac{V}{\pi L}}.
  • Substituindo V=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3, \pi=3 e L=\tfrac{1}{12}\\ \mathrm{m}:
R=\sqrt{\frac{1{,}0\times10^{-4}}{3\cdot(1/12)}}=\sqrt{\frac{1{,}0\times10^{-4}}{1/4}}=\sqrt{4{,}0\times10^{-4}}.
  • Calculando:
R=\sqrt{4{,}0\times10^{-4}}=2{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para centímetros: \,0{,}02\\ \mathrm{m}=2{,}0\\ \mathrm{cm}.
Portanto, se o tubo for fechado em um extremo, obtemos \,R=2{,}0\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Caso 2 — tubo com as duas extremidades abertas (aberto-aberto).
  • Fórmula: \,f=\dfrac{v}{2L}. Isolando L:
L=\frac{v}{2f}.
  • Substituindo:
L=\frac{340}{2\cdot1020}=\frac{340}{2040}=\frac{1}{6}\\ \mathrm{m}=0{,}166666\ldots\\ \mathrm{m}.
  • Usando V=\pi R^2 L e isolando R:
R=\sqrt{\frac{V}{\pi L}}=\sqrt{\frac{1{,}0\times10^{-4}}{3\cdot(1/6)}}=\sqrt{\frac{1{,}0\times10^{-4}}{1/2}}=\sqrt{2{,}0\times10^{-4}}.
  • Calculando:
R=\sqrt{2{,}0\times10^{-4}}=\sqrt{2}\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
  • Numericamente, usando \sqrt{2}\approx1{,}41421356\ldots, temos
R\approx1{,}414\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0{,}01414\\ \mathrm{m}=1{,}414\\ \mathrm{cm}.
Portanto, se o tubo for aberto nas duas extremidades, obtemos \,R\approx1{,}414\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Conclusão e interpretação final (intervalo que contém R):
  • Como não foi explicitado no enunciado se o tubo tem as duas extremidades abertas ou se é fechado num extremo, o valor real do raio R deve ficar entre os dois valores calculados. O caso aberto-aberto dá o menor raio e o caso fechado-aberto dá o maior raio.
  • Assim o intervalo que contém R, em centímetros, é
1{,}414\\ \mathrm{cm}\le R\le 2{,}000\\ \mathrm{cm}.
(Usei \pi=3 e as conversões de unidade conforme pedido; os números foram apresentados com três casas significativas quando apropriado.)
Força aí! Dá pra decorar esse raciocínio rápido: acha L pelo tipo de tubo com f=v/(2L) ou f=v/(4L), depois usa V=\pi R^2 L para achar R.

Resposta

1{,}414\\ \mathrm{cm}\le R\le 2{,}000\\ \mathrm{cm}

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