1. Imagine que você esteja sentado numa sala com as costas voltadas para a parede, da qual emerge um feixe de elétrons que se move horizontalmente na direção da parede em frente. Se o feixe de elétrons for desviado para a sua direita, qual será a direção e o sentido do campo magnético existente na sala?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Há um feixe de elétrons que se move horizontalmente da parede atrás de você na direção da parede em frente. Ou seja, o vetor velocidade do feixe está apontando para a frente (na direção que você está olhando).
    • O feixe de elétrons é desviado para a sua direita.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a direção e o sentido do campo magnético presente na sala (isto é, para onde aponta o vetor \mathbf{B}).

Passo 2

Apresentar a lei que relaciona força, velocidade e campo magnético e explicar cada termo.
  • A força sobre uma partícula com carga q, velocidade \mathbf{v}, campo elétrico \mathbf{E} e campo magnético \mathbf{B} é dada pela lei de Lorentz:
\mathbf{F}=q\bigl(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).
  • O que cada símbolo significa:
    • \mathbf{F}: vetor força que age sobre a partícula (direção e sentido da aceleração instantânea).
    • q: carga da partícula (para o elétron q=-e, negativo).
    • \mathbf{E}: campo elétrico (vetor).
    • \mathbf{v}: velocidade da partícula (vetor).
    • \mathbf{B}: campo magnético (vetor).
    • \times é o produto vetorial (cross product); \mathbf{v}\times\mathbf{B} é um vetor perpendicular a \mathbf{v} e a \mathbf{B}.

Passo 3

Justificar que a deflexão lateral é causada pelo campo magnético e simplificar a expressão.
  • O enunciado fala só de desvio lateral do feixe (sem mencionar forças elétricas). Uma força elétrica teria sinal que não depende de \mathbf{v} e normalmente exigiria uma diferença de potencial/placas; o desvio lateral de um feixe em movimento é tipicamente explicado pelo termo magnético.
  • Portanto assumimos \mathbf{E}=\mathbf{0} e usamos
\mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}).

Passo 4

Usar o sinal da carga do elétron para relacionar as direções de \mathbf{F} e de \mathbf{v}\times\mathbf{B}.
  • Para elétrons q=-e. Então
\mathbf{F}=-e(\mathbf{v}\times\mathbf{B}).
  • Isolando \mathbf{v}\times\mathbf{B}:
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=-\frac{\mathbf{F}}{e}.
  • Como o feixe foi desviado para a sua direita, a força observada sobre os elétrons é para a direita. Chamemos “direita” de \hat{\mathbf{j}}. Então \mathbf{F} aponta na direção +\hat{\mathbf{j}}.
  • Pela última igualdade, \mathbf{v}\times\mathbf{B} deve apontar para a esquerda, isto é, para -\hat{\mathbf{j}}. (Resumo lógico: \mathbf{F}=+\hat{\mathbf{j}} e q<0\Rightarrow \mathbf{v}\times\mathbf{B}=-\hat{\mathbf{j}}.)

Passo 5

Escolher um sistema de eixos e usar identidades do produto vetorial para achar \mathbf{B}.
  • Defina eixos convenientes:
    • \hat{\mathbf{i}}: direção para a frente (do ponto de origem do feixe em direção à parede em frente).
    • \hat{\mathbf{j}}: direção para a direita.
    • \hat{\mathbf{k}}: direção para cima.
  • Identidades úteis do produto vetorial (sistema de base direita):
\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}},\qquad \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}},\qquad \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}.
  • Dessas segue
\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{j}}.

Passo 6

Determinar \mathbf{B} explicitamente procurando um vetor que satisfaça \mathbf{v}\times\mathbf{B}=-\hat{\mathbf{j}}.
  • A velocidade é \mathbf{v}=v\,\hat{\mathbf{i}} (para frente).
  • Queremos \mathbf{v}\times\mathbf{B}=-\hat{\mathbf{j}}. Tentar um campo magnético puramente vertical \mathbf{B}=B\,\hat{\mathbf{k}} (para cima):
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=v\,\hat{\mathbf{i}}\times B\,\hat{\mathbf{k}}=vB\bigl(\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{k}}\bigr)=vB\bigl(-\hat{\mathbf{j}}\bigr).
  • Isso tem direção -\hat{\mathbf{j}} exatamente como queremos (o fator escalar vB só dá a magnitude, que não é pedida). Portanto \mathbf{B} deve apontar para cima, ou seja, do chão para o teto.

Passo 7

Interpretação física final e checagem rápida com a regra da mão direita.
  • Regra da mão direita para produto vetorial (válida para cargas positivas): polegar = \mathbf{v}, indicador = \mathbf{B}, então o dedo médio indica \mathbf{v}\times\mathbf{B}.
  • Aqui \mathbf{v} para frente e \mathbf{B} para cima dá \mathbf{v}\times\mathbf{B} para a esquerda; para elétron (carga negativa) a força fica no sentido oposto, isto é, para a direita — que é o observado. Compatível.
  • Conclusão: o campo magnético existente na sala aponta verticalmente para cima (do chão para o teto).

Resposta

O campo magnético aponta para cima (do chão em direção ao teto).

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