1. No circuito da Figura 6, \varepsilon=1,2 \mathrm{kV}, C=6,5 \mu \mathrm{~F}, R_{1}=R_{2}=R_{3}=0,73 \mathrm{M} \Omega. Com completamente descarregado, a chave S é subitamente fechada (\mathrm{t}=0).
d) Dê o significado física de t=\infty no presente problema.

Passo 1

O enunciado pede: “Dê o significado físico de t=\infty no presente problema.”
Informações dadas (retiradas do enunciado / figura):
  • \varepsilon=1{,}2\\ \mathrm{kV}.
  • C=6{,}5\\ \mu\mathrm{F}.
  • R_1=R_2=R_3=0{,}73\\ \mathrm{M}\Omega.
  • O capacitor está completamente descarregado antes de fechar a chave.
  • A chave S é fechada subitamente em t=0.

Passo 2

Explicação geral do que significa \boldsymbol{t=\infty} em circuitos com capacitor (ideia física e matemática):
  • Quando a chave é fechada em t=0 surge um regime transitório: o capacitor começa a acumular carga e há correntes temporárias que mudam com o tempo. Essas variações costumam ter a forma exponencial típica de processos de carga/descarga de capacitor.
  • Matematicamente um sinal típico para a tensão no capacitor é
V_C(t)=V_C(\infty)+\bigl(V_C(0)-V_C(\infty)\bigr)e^{-t/\tau},
onde \tau é a constante de tempo do circuito.
  • Quando t\to\infty a parte exponencial desaparece porque
\lim_{t\to\infty} e^{-t/\tau}=0.
Fisicamente, isso significa que o regime transitório já terminou e o circuito alcançou o regime permanente (estado estacionário): todas as grandezas elétricas (tensões e correntes) tornaram-se constantes no tempo.

Passo 3

Consequências físicas específicas para este circuito em t=\infty:
  • No estado permanente o capacitor não permite passagem de corrente contínua (comportamento de circuito ideal): isso é, o ramo que contém R_3 em série com C fica efetivamente em aberto, portanto a corrente através de R_3 e do capacitor é nula.
  • Como não passa corrente por R_3, não há queda de tensão em R_3; portanto o potencial do nó superior do capacitor é igual ao potencial do nó entre R_1 e R_2. O capacitor fica com a mesma tensão do nó.
  • Esse nó é simplesmente um divisor de tensão formado por R_1 e R_2. Logo a tensão final no capacitor vale
V_C(\infty)=\varepsilon\frac{R_2}{R_1+R_2}.
Com R_1=R_2 isso dá
V_C(\infty)=\frac{\varepsilon}{2}=\frac{1{,}2\\ \mathrm{kV}}{2}=600\\ \mathrm{V}.
  • A corrente no ramo da fonte em regime permanente é a corrente pelo divisor R_1\!-\!R_2:
I(\infty)=\frac{\varepsilon}{R_1+R_2}\approx\frac{1{,}2\times10^{3}}{1{,}46\times10^{6}}\approx8{,}22\times10^{-4}\\ \mathrm{A}\approx0{,}822\\ \mathrm{mA}.
  • Resumo físico: em t=\infty o capacitor está totalmente carregado (tensão fixa 600\\ \mathrm{V}), não circula corrente através dele, o ramo com R_3 está inativo (corrente nula), e o circuito está em regime permanente com correntes e tensões constantes no tempo.

Passo 4

Observação prática sobre escala de tempo: embora \infty seja idealmente “tempo infinito”, na prática o circuito está virtualmente em regime permanente após alguns múltiplos da constante de tempo \tau. A constante de tempo para a carga do capacitor é \tau=R_{\mathrm{th}}C, com R_{\mathrm{th}} a resistência de Thevenin vista pelo capacitor. Após t\gtrsim 5\tau a aproximação t\to\infty já é operacionalmente válida (o termo exponencial é da ordem de e^{-5}\approx0{,}007).

Resposta

Em t=\infty: regime permanente (transiente cessou); o capacitor está totalmente carregado com V_C(\infty)=600\\ \mathrm{V}, a corrente pelo capacitor (e por R_3) é nula, e as tensões/correntes do circuito tornaram-se constantes.

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