5^{a} Questão (2.0):

A força de interação entre dois átomos, em certas moléculas diatômicas, pode ser representada por F=a \frac{e^{2}}{r^{2}}-b \frac{1}{r^{11}}, onde r é a distância de separação entre os centros atômicos, e é a carga do elétron e a e b são constantes positivas. (a) Determine a separação de equilíbrio entre os centros atômicos em função de e, a e b. (b) Para pequenas oscilações em relação a esta condição de separação de equilíbrio, determine a constante elástica k. (c) Determine o período do movimento.

Passo 1

O enunciado dá a força de interação entre dois átomos na forma
F(r)=a\frac{e^{2}}{r^{2}}-b\frac{1}{r^{11}},
onde \;r\; é a separação entre centros atômicos e a,b>0 e e são constantes. A questão pede três coisas:
  • (a) a separação de equilíbrio entre os centros atômicos (isto é, o valor de r em que a força total se anula);
  • (b) a constante elástica k para pequenas oscilações em torno dessa separação de equilíbrio;
  • (c) o período do movimento de pequenas oscilações (em função de k e das massas envolvidas).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de F(r) (peguei-a do enunciado).
  • As constantes a, b e e são positivas (também do enunciado).
  • Não foram dados valores das massas das partículas; portanto o período final deve ficar em função da massa efetiva (reduzida) do par atômico.

Passo 2

(a) Definição e cálculo da separação de equilíbrio.
Explicação curta da ideia: um ponto de equilíbrio está em r=r_{0} quando a força resultante é nula ali, isto é, quando \,F(r_{0})=0. Isso porque não há aceleração instantânea nesse ponto. Vamos aplicar isso.
Colocar F(r_{0})=0:
0 = a\frac{e^{2}}{r_{0}^{2}} - b\frac{1}{r_{0}^{11}}.
Isolando termos e resolvendo para r_{0}:
Multiplicar por r_{0}^{11} para eliminar denominadores:
0 = a e^{2} r_{0}^{9} - b.
Logo
a e^{2} r_{0}^{9} = b.
Despejando r_{0}:
r_{0}^{9} = \frac{b}{a e^{2}}, \qquad\Rightarrow\qquad r_{0} = \left(\frac{b}{a e^{2}}\right)^{1/9}.
Esse é o valor da separação de equilíbrio em termos de a, b e e.

Passo 3

(b) Como obter a constante elástica k para pequenas oscilações — ideia e fórmulas.
Explicação didática: para pequenas oscilações em torno de r_{0} escrevemos r = r_{0} + x com |x|\ll r_{0}. Expandindo a força em série de Taylor ao redor de r_{0} temos
F(r)\approx F(r_{0}) + F'(r_{0})(r-r_{0}) + \cdots.
Como F(r_{0})=0, o termo dominante é linear: F\approx F'(r_{0})\,x.
Comparando com a forma de Hooke para uma força restauradora (pequenos deslocamentos)
F \approx -k x,
vemos que
k = -F'(r_{0}).
Portanto precisamos calcular a derivada F'(r) e avaliá‑la em r_{0}.

Passo 4

Cálculo explícito de F'(r) e de k.
Derivando a expressão dada:
F(r)=a e^{2} r^{-2} - b r^{-11},
logo (derivada termo a termo)
F'(r) = -2 a e^{2} r^{-3} + 11 b r^{-12}.
Agora avaliamos em r_{0} e usamos a relação de equilíbrio b = a e^{2} r_{0}^{9} (obtida no Passo 2) para simplificar.
Substituindo b em F'(r_{0}):
F'(r_{0}) = -2 a e^{2} r_{0}^{-3} + 11\big(a e^{2} r_{0}^{9}\big) r_{0}^{-12} = -2 a e^{2} r_{0}^{-3} + 11 a e^{2} r_{0}^{-3}.
Somando os termos:
F'(r_{0}) = 9 a e^{2} r_{0}^{-3}.
Portanto, usando k=-F'(r_{0}),
k = -9 a e^{2} r_{0}^{-3}.
Essa expressão pode ser escrita puramente em função de a,b,e substituindo r_{0}^{-3}=(a e^{2}/b)^{1/3} (inverso do que encontramos no Passo 2):
r_{0}^{-3}=\left(\frac{b}{a e^{2}}\right)^{-1/3}=\left(\frac{a e^{2}}{b}\right)^{1/3}.
Logo
k = -9\,a e^{2}\left(\frac{a e^{2}}{b}\right)^{1/3} = -9\,(a e^{2})^{4/3}\,b^{-1/3}.
Comentário físico importante (não pule): o sinal aqui saiu negativo ( k<0 porque a>0 e b>0). Um k negativo significa que a derivada de F em r_{0} é positiva, ou seja, deslocamentos pequenos não produzem uma força restauradora do tipo -k x com k>0 — na verdade esse ponto é um ponto de equilíbrio instável (um máximo efetivo do potencial). Para oscilações harmônicas reais é necessário k>0 (mínimo de potencial). Assim, matematicamente obtemos k conforme acima; fisicamente, se for realmente negativo, não haverá oscilações pequenas estáveis (não existe período real). Se o enunciado espera a constante elástica numérica positiva, deve-se verificar sinais/interpretacões do modelo físico; aqui seguimos a expressão dada.

Passo 5

(c) Período do movimento para pequenas oscilações — fórmula geral e aplicação.
Explicação didática: quando dois átomos vibram em torno do equilíbrio, o movimento relativo se comporta (para pequenas amplitudes) como um oscilador harmônico de constante elástica k e massa efetiva dada pela massa reduzida \mu do par de átomos:
\mu = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
A fórmula do período do oscilador harmônico simples é
T = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}}.
Observação sobre o sinal de k: essa fórmula presume k>0. Se a expressão encontrada para k for negativa (como ocorreu neste caso), \sqrt{\mu/k} é imaginária e não há oscilações harmônicas reais — o equilíbrio seria instável. Se, por algum motivo de interpretação física diferente, for usada a magnitude |k| para obter um tempo característico de resposta, então pode-se escrever a expressão com |k|. Aqui forneço a expressão geral e também a forma com k substituído pelas constantes a,b,e.
Substituindo k = -9 (a e^{2})^{4/3} b^{-1/3} (como obtido no Passo 4) na fórmula do período e tomando o valor absoluto para obter um resultado real quando se quiser um módulo do tempo característico:
T = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{|k|}} =2\pi\sqrt{\frac{\mu}{9\,(a e^{2})^{4/3} b^{-1/3}}}.
Repare que, estritamente, se o k real for negativo, não existe período real de pequenas oscilações; a expressão com |k| dá apenas a escala temporal característica associada à instabilidade.

Resposta

(a) r_{\mathrm{eq}}=\left(\dfrac{b}{a e^{2}}\right)^{1/9}
(b) k=-9\,(a e^{2})^{4/3}\,b^{-1/3} \quad (equivalente a \;k=-9\,a e^{2} r_{\mathrm{eq}}^{-3})
(c) T=2\pi\sqrt{\dfrac{\mu}{|k|}}=2\pi\sqrt{\dfrac{\mu}{9\,(a e^{2})^{4/3} b^{-1/3}}}

Exercícios relacionados