Questão (2.0):
A força de interação entre dois átomos, em certas moléculas diatômicas, pode ser representada por
, onde
é a distância de separação entre os centros atômicos,
é a carga do elétron e
e
são constantes positivas. (a) Determine a separação de equilíbrio entre os centros atômicos em função de
e
. (b) Para pequenas oscilações em relação a esta condição de separação de equilíbrio, determine a constante elástica
. (c) Determine o período do movimento.
Passo 1
O enunciado dá a força de interação entre dois átomos na forma
onde
é a separação entre centros atômicos e
e
são constantes. A questão pede três coisas:
- (a) a separação de equilíbrio entre os centros atômicos (isto é, o valor de
em que a força total se anula); - (b) a constante elástica
para pequenas oscilações em torno dessa separação de equilíbrio; - (c) o período do movimento de pequenas oscilações (em função de
e das massas envolvidas).
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita de
(peguei-a do enunciado). - As constantes
, e são positivas (também do enunciado). - Não foram dados valores das massas das partículas; portanto o período final deve ficar em função da massa efetiva (reduzida) do par atômico.
Passo 2
(a) Definição e cálculo da separação de equilíbrio.
Explicação curta da ideia: um ponto de equilíbrio está em
quando a força resultante é nula ali, isto é, quando
. Isso porque não há aceleração instantânea nesse ponto. Vamos aplicar isso.
Colocar
:
Isolando termos e resolvendo para
:
Multiplicar por
para eliminar denominadores:
Logo
Despejando
:
Esse é o valor da separação de equilíbrio em termos de
,
e
.
Passo 3
(b) Como obter a constante elástica
para pequenas oscilações — ideia e fórmulas.
Explicação didática: para pequenas oscilações em torno de
escrevemos
com
. Expandindo a força em série de Taylor ao redor de
temos
Como
, o termo dominante é linear:
.
Comparando com a forma de Hooke para uma força restauradora (pequenos deslocamentos)
vemos que
Portanto precisamos calcular a derivada
e avaliá‑la em
.
Passo 4
Cálculo explícito de
e de
.
Derivando a expressão dada:
logo (derivada termo a termo)
Agora avaliamos em
e usamos a relação de equilíbrio
(obtida no Passo 2) para simplificar.
Substituindo
em
:
Somando os termos:
Portanto, usando
,
Essa expressão pode ser escrita puramente em função de
substituindo
(inverso do que encontramos no Passo 2):
Logo
Comentário físico importante (não pule): o sinal aqui saiu negativo (
porque
e
). Um
negativo significa que a derivada de
em
é positiva, ou seja, deslocamentos pequenos não produzem uma força restauradora do tipo
com
— na verdade esse ponto é um ponto de equilíbrio instável (um máximo efetivo do potencial). Para oscilações harmônicas reais é necessário
(mínimo de potencial). Assim, matematicamente obtemos
conforme acima; fisicamente, se for realmente negativo, não haverá oscilações pequenas estáveis (não existe período real). Se o enunciado espera a constante elástica numérica positiva, deve-se verificar sinais/interpretacões do modelo físico; aqui seguimos a expressão dada.
Passo 5
(c) Período do movimento para pequenas oscilações — fórmula geral e aplicação.
Explicação didática: quando dois átomos vibram em torno do equilíbrio, o movimento relativo se comporta (para pequenas amplitudes) como um oscilador harmônico de constante elástica
e massa efetiva dada pela massa reduzida
do par de átomos:
A fórmula do período do oscilador harmônico simples é
Observação sobre o sinal de
: essa fórmula presume
. Se a expressão encontrada para
for negativa (como ocorreu neste caso),
é imaginária e não há oscilações harmônicas reais — o equilíbrio seria instável. Se, por algum motivo de interpretação física diferente, for usada a magnitude
para obter um tempo característico de resposta, então pode-se escrever a expressão com
. Aqui forneço a expressão geral e também a forma com
substituído pelas constantes
.
Substituindo
(como obtido no Passo 4) na fórmula do período e tomando o valor absoluto para obter um resultado real quando se quiser um módulo do tempo característico:
Repare que, estritamente, se o
real for negativo, não existe período real de pequenas oscilações; a expressão com
dá apenas a escala temporal característica associada à instabilidade.
Resposta
(a)
(b)
(equivalente a
)
(c)