4* Questão (2.0):

Ache o movimento resultante de dois movimentos harmônicos simples na mesma direção, dados por: x_{1}=\cos \left(\omega t+\frac{\pi}{3}\right), x_{2}=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6}-\omega t\right).

Passo 1

O enunciado dá dois movimentos harmônicos simples na mesma direção e pede o movimento resultante (ou seja, a soma dos dois deslocamentos instantâneos). As informações fornecidas são:
  • x_{1}=\cos\!\left(\omega t+\dfrac{\pi}{3}\right).
  • x_{2}=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}-\omega t\right).
O que se pede explicitamente: achar x_{\text{res}}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) escrevendo-o como um único movimento harmônico (por exemplo na forma A\cos(\omega t+\varphi) ou equivalente).

Passo 2

Estratégia: para somar duas funções harmônicas do mesmo ângulo \omega t é muito conveniente colocá-las na mesma “família” trigonométrica (ambas em cosseno com a mesma frequência e argumentos comparáveis). Vou então transformar x_{2} para uma expressão em cosseno com argumento do tipo \omega t+\text{constante}. Depois somo termo a termo, identifico amplitude e fase do resultado.
Vou usar identidades trigonométricas básicas. Duas que são úteis aqui:
  • \displaystyle \sin(\alpha)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right). (Isso converte seno em cosseno.)
  • A identidade de diferença de ângulos para o seno, se alguém preferir: \displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta. Vou usar a primeira por ser mais direta neste caso.

Passo 3

Aplicando \sin(\alpha)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) com \alpha=\dfrac{\pi}{6}-\omega t obtemos:
x_{2}=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}-\omega t\right) =\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\Big(\dfrac{\pi}{6}-\omega t\Big)\right).
Agora simplifico o argumento dentro do cosseno:
\tfrac{\pi}{2}-\Big(\dfrac{\pi}{6}-\omega t\Big) =\tfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}+\omega t =\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}+\omega t =\dfrac{2\pi}{6}+\omega t =\dfrac{\pi}{3}+\omega t.
Portanto
x_{2}=\cos\!\left(\omega t+\dfrac{\pi}{3}\right).
(Observação rápida: dá para verificar numericamente em t=0: x_{2}(0)=\sin(\pi/6)=1/2 e \cos(\pi/3)=1/2, consistente.)

Passo 4

Agora que ambos estão na mesma forma, somo:
x_{\text{res}}(t)=x_{1}+x_{2} =\cos\!\left(\omega t+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos\!\left(\omega t+\dfrac{\pi}{3}\right).
Como são iguais, a soma é simplesmente o dobro:
x_{\text{res}}(t)=2\cos\!\left(\omega t+\dfrac{\pi}{3}\right).

Passo 5

Interpretação física e verificação: o resultado é um único movimento harmônico simples com
  • amplitude A=2,
  • frequência angular \omega (a mesma dos originais),
  • fase inicial \varphi=\dfrac{\pi}{3}.
Verificação rápida num ponto: para t=0 temos x_{1}(0)=\cos(\pi/3)=1/2, x_{2}(0)=\sin(\pi/6)=1/2, soma 1/2+1/2=1. Pela expressão final x_{\text{res}}(0)=2\cos(\pi/3)=2\cdot\frac{1}{2}=1. Está consistente.

Resposta

x_{\text{res}}(t)=2\cos\!\left(\omega t+\dfrac{\pi}{3}\right)

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