4* Questão (2.0):
Ache o movimento resultante de dois movimentos harmônicos simples na mesma direção, dados por:
.
Passo 1
O enunciado dá dois movimentos harmônicos simples na mesma direção e pede o movimento resultante (ou seja, a soma dos dois deslocamentos instantâneos). As informações fornecidas são:
-
. -
.
O que se pede explicitamente: achar
escrevendo-o como um único movimento harmônico (por exemplo na forma
ou equivalente).
Passo 2
Estratégia: para somar duas funções harmônicas do mesmo ângulo
é muito conveniente colocá-las na mesma “família” trigonométrica (ambas em cosseno com a mesma frequência e argumentos comparáveis). Vou então transformar
para uma expressão em cosseno com argumento do tipo
. Depois somo termo a termo, identifico amplitude e fase do resultado.
Vou usar identidades trigonométricas básicas. Duas que são úteis aqui:
-
. (Isso converte seno em cosseno.) - A identidade de diferença de ângulos para o seno, se alguém preferir:
. Vou usar a primeira por ser mais direta neste caso.
Passo 3
Aplicando
com
obtemos:
Agora simplifico o argumento dentro do cosseno:
Portanto
(Observação rápida: dá para verificar numericamente em
:
e
, consistente.)
Passo 4
Agora que ambos estão na mesma forma, somo:
Como são iguais, a soma é simplesmente o dobro:
Passo 5
Interpretação física e verificação: o resultado é um único movimento harmônico simples com
- amplitude
, - frequência angular
(a mesma dos originais), - fase inicial
.
Verificação rápida num ponto: para
temos
,
, soma
. Pela expressão final
. Está consistente.