Para a distribuição de carga
, para
;
, para
.
(a) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para
a. (b) Encontrar o módulo do campo elétrico
e o potencial
para
e (c) Encontrar a carga total. Justifique a sua resposta.
(a) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para
Passo 1
O enunciado dá a densidade volumétrica de carga radialmente simétrica
e
As perguntas são:
(a) Encontrar o módulo do campo elétrico e o potencial
para
.\n
(b) Encontrar o módulo do campo elétrico e o potencial
para
.\n
(c) Encontrar a carga total e justificar a resposta.
(a) Encontrar o módulo do campo elétrico
(b) Encontrar o módulo do campo elétrico
(c) Encontrar a carga total e justificar a resposta.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): por causa da dependência apenas de
(a densidade depende só de
) a distribuição é esfericamente simétrica. Numa situação assim é prático usar a lei de Gauss na forma integral para encontrar o campo elétrico: a circulação do fluxo elétrico numa superfície esférica de raio
depende apenas da carga total encerrada
. A lei de Gauss (em unidades SI) é
Para uma esfera de raio
com campo radial
uniforme sobre a superfície, o fluxo é
. Assim
Portanto primeiro passo prático: calcular
. Vou fazer isso explicitamente.
Passo 3
Calcular a carga encerrada para
. Usar a densidade dada para
:
Calculo das primitivas:
Avalia de
a
:
Passo 4
Campo elétrico para
. Aplicando a fórmula obtida em Passo 2:
Simplificando os fatores
:
Podemos escrever de forma factorizada:
direção radial (para fora se
). Nota: em
o campo é nulo por simetria (o fator
garante
).
Passo 5
Carga total (pré-cálculo para parte (a) e item (c)). Para
toda a carga está contida na esfera de raio
; assim a carga total
. Usar a fórmula do Passo 3 com
:
Calcule o parêntese:
Portanto
Passo 6
Campo elétrico para
. Do teorema de Gauss, fora da distribuição (onde não há densidade), o campo é idêntico ao de uma carga pontual
concentrada na origem. Assim
Simplificando
obtemos
Passo 7
Escolha da referência do potencial e relação com o campo. Vou adotar o potencial zero no infinito:
Para campo radial, o potencial relativo a infinito é
com
apontando radialmente.
Passo 8
Potencial para
. Integrando o campo externo (que é do tipo
):
Substituindo
:
Passo 9
Potencial para
. Usar continuidade do potencial e integrar do ponto
(onde já conhecemos
pela expressão externa) até
:
Primeiro pela fórmula externa (colocando
):
Primeiro
Agora
com
. Calcule a integral:
Avaliação:
Multiplicando pelo fator
e subtraindo de
dá
Simplificando (colocando em denominador comum
):
Uma forma alternativa escrevendo um único polinômio:
Verificação rápida: para
essa expressão dá
, batendo com a expressão externa (continuidade do potencial).
Passo 10
Resumo físico e conclusão sobre a carga total. A carga total foi calculada no Passo 5:
Justificação: a distribuição tem suporte apenas para
, portanto fora da esfera o campo se comporta como o de uma carga pontual
no centro (por simetria esférica e pela lei de Gauss). O potencial escolhido satisfaz
e é contínuo em
; dentro,
é finito em
(valor finito dado pela expressão interna).
Resposta
(a)
(b)
(c)