Para a distribuição de carga \rho(r)=\rho_{0}\left(a^{2}-r^{2}\right), para r<a; e \rho(r)=0, para r>a.
(a) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para \mathrm{r} \geq a. (b) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para r \leq a e (c) Encontrar a carga total. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a densidade volumétrica de carga radialmente simétrica
\rho(r)=\rho_{0}\bigl(a^{2}-r^{2}\bigr)\quad\text{para}\quad r<a,
e
\rho(r)=0\quad\text{para}\quad r>a.
As perguntas são:
(a) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para \,r\ge a.\n
(b) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para \,r\le a.\n
(c) Encontrar a carga total e justificar a resposta.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): por causa da dependência apenas de r (a densidade depende só de r) a distribuição é esfericamente simétrica. Numa situação assim é prático usar a lei de Gauss na forma integral para encontrar o campo elétrico: a circulação do fluxo elétrico numa superfície esférica de raio r depende apenas da carga total encerrada Q_{\text{enc}}(r). A lei de Gauss (em unidades SI) é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}}.
Para uma esfera de raio r com campo radial E(r) uniforme sobre a superfície, o fluxo é E(r)\,4\pi r^{2}. Assim
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{r^{2}}.
Portanto primeiro passo prático: calcular Q_{\text{enc}}(r)=\displaystyle\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}dr'. Vou fazer isso explicitamente.

Passo 3

Calcular a carga encerrada para r\le a. Usar a densidade dada para r'<a:
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\int_{0}^{r}\rho_{0}\bigl(a^{2}-r'^{2}\bigr)r'^{2}dr' =4\pi\rho_{0}\int_{0}^{r}\bigl(a^{2}r'^{2}-r'^{4}\bigr)dr'.
Calculo das primitivas:
\int a^{2}r'^{2}dr' = a^{2}\frac{r'^{3}}{3},\qquad \int r'^{4}dr'=\frac{r'^{5}}{5}.
Avalia de 0 a r:
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\rho_{0}\left(\frac{a^{2}r^{3}}{3}-\frac{r^{5}}{5}\right).

Passo 4

Campo elétrico para r\le a. Aplicando a fórmula obtida em Passo 2:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{4\pi\rho_{0}\!\left(\dfrac{a^{2}r^{3}}{3}-\dfrac{r^{5}}{5}\right)}{r^{2}}.
Simplificando os fatores 4\pi:
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{a^{2}r}{3}-\frac{r^{3}}{5}\right).
Podemos escrever de forma factorizada:
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\,r\!\left(\frac{a^{2}}{3}-\frac{r^{2}}{5}\right),
direção radial (para fora se \rho_{0}>0). Nota: em r=0 o campo é nulo por simetria (o fator r garante E(0)=0).

Passo 5

Carga total (pré-cálculo para parte (a) e item (c)). Para r\ge a toda a carga está contida na esfera de raio a; assim a carga total Q_{\text{tot}}=Q_{\text{enc}}(a). Usar a fórmula do Passo 3 com r=a:
Q_{\text{tot}}=4\pi\rho_{0}\left(\frac{a^{2}a^{3}}{3}-\frac{a^{5}}{5}\right) =4\pi\rho_{0}a^{5}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right).
Calcule o parêntese:
\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}.
Portanto
Q_{\text{tot}}=\frac{8\pi}{15}\rho_{0}a^{5}.

Passo 6

Campo elétrico para r\ge a. Do teorema de Gauss, fora da distribuição (onde não há densidade), o campo é idêntico ao de uma carga pontual Q_{\text{tot}} concentrada na origem. Assim
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{\text{tot}}}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\dfrac{8\pi}{15}\rho_{0}a^{5}}{r^{2}}.
Simplificando \dfrac{1}{4\pi}\cdot 8\pi=2 obtemos
E(r)=\frac{2\rho_{0}a^{5}}{15\varepsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}}.

Passo 7

Escolha da referência do potencial e relação com o campo. Vou adotar o potencial zero no infinito:
V(\infty)=0.
Para campo radial, o potencial relativo a infinito é
V(r)=-\int_{\infty}^{r}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} =-\int_{\infty}^{r}E(r')\,dr',
com E apontando radialmente.

Passo 8

Potencial para r\ge a. Integrando o campo externo (que é do tipo kQ_{\text{tot}}/r'^{2}):
V(r)=-\int_{\infty}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{\text{tot}}}{r'^{2}}dr' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{\text{tot}}}{r}.
Substituindo Q_{\text{tot}}=\dfrac{8\pi}{15}\rho_{0}a^{5}:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\dfrac{8\pi}{15}\rho_{0}a^{5}}{r} =\frac{2\rho_{0}a^{5}}{15\varepsilon_{0}}\frac{1}{r}.

Passo 9

Potencial para r\le a. Usar continuidade do potencial e integrar do ponto a (onde já conhecemos V(a) pela expressão externa) até r:
Primeiro V(a) pela fórmula externa (colocando r=a):
V(a)=\frac{2\rho_{0}a^{4}}{15\varepsilon_{0}}.
Agora
V(r)=V(a)-\int_{r}^{a}E(r')\,dr',
com E(r')=\dfrac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\!\left(\dfrac{a^{2}r'}{3}-\dfrac{r'^{3}}{5}\right). Calcule a integral:
\int_{r}^{a}\left(\frac{a^{2}r'}{3}-\frac{r'^{3}}{5}\right)dr' =\left[\frac{a^{2}r'^{2}}{6}-\frac{r'^{4}}{20}\right]_{r}^{a}.
Avaliação:
=\left(\frac{a^{4}}{6}-\frac{a^{4}}{20}\right)-\left(\frac{a^{2}r^{2}}{6}-\frac{r^{4}}{20}\right) =\frac{7a^{4}}{60}-\frac{a^{2}r^{2}}{6}+\frac{r^{4}}{20}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}} e subtraindo de V(a)
V(r)=\frac{2\rho_{0}a^{4}}{15\varepsilon_{0}}-\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\!\left(\frac{7a^{4}}{60}-\frac{a^{2}r^{2}}{6}+\frac{r^{4}}{20}\right).
Simplificando (colocando em denominador comum 60):
V(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{a^{4}}{60}+\frac{a^{2}r^{2}}{6}-\frac{r^{4}}{20}\right).
Uma forma alternativa escrevendo um único polinômio:
V(r)=\frac{\rho_{0}}{60\varepsilon_{0}}\left(a^{4}+10a^{2}r^{2}-3r^{4}\right).
Verificação rápida: para r=a essa expressão dá V(a)=\dfrac{2\rho_{0}a^{4}}{15\varepsilon_{0}}, batendo com a expressão externa (continuidade do potencial).

Passo 10

Resumo físico e conclusão sobre a carga total. A carga total foi calculada no Passo 5:
Q_{\text{tot}}=\frac{8\pi}{15}\rho_{0}a^{5}.
Justificação: a distribuição tem suporte apenas para r<a, portanto fora da esfera o campo se comporta como o de uma carga pontual Q_{\text{tot}} no centro (por simetria esférica e pela lei de Gauss). O potencial escolhido satisfaz V(\infty)=0 e é contínuo em r=a; dentro, V(r) é finito em r=0 (valor finito dado pela expressão interna).

Resposta

(a) E(r)=\frac{2\rho_{0}a^{5}}{15\varepsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}},\qquad V(r)=\frac{2\rho_{0}a^{5}}{15\varepsilon_{0}}\frac{1}{r}\quad(\text{para }r\ge a).
(b) E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\,r\!\left(\frac{a^{2}}{3}-\frac{r^{2}}{5}\right),\qquad V(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{a^{4}}{60}+\frac{a^{2}r^{2}}{6}-\frac{r^{4}}{20}\right)\quad(\text{para }r\le a).
(c) Q_{\text{tot}}=\frac{8\pi}{15}\rho_{0}a^{5}.

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