Questão
Uma força variável
atua sobre um corpo que move-se apenas ao longo do eixo
. Determine:
a)
O trabalho realizado ao deslocar o corpo da posição
até
.
b)
Tomando o valor de referência da energia potencial como
, determine o valor de
.
Uma força variável
a)
b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Força vetorial fornecida:
- Movimento do corpo: o corpo move-se apenas ao longo do eixo
. - Intervalos pedidos:
- (a) calcular o trabalho realizado ao deslocar o corpo de
até . - (b) tomando como referência o valor da energia potencial em
(ou seja, escolhendo ), determinar .
- (a) calcular o trabalho realizado ao deslocar o corpo de
- Informação implícita importante: o movimento é unidimensional ao longo de
, então o deslocamento infinitesimal pode ser escrito usando apenas na direção .
Passo 2
Conceito de trabalho para força variável e como aplicá-lo aqui.
- Definição prática: o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma trajetória é o integral de linha do produto escalar da força pelo deslocamento:
- Como o corpo só se move ao longo do eixo
, a trajetória é a reta no sentido do eixo e o vetor deslocamento infinitesimal é
- Explicando o produto escalar: para vetores
e ,
Aqui,
tem componentes
, então só o componente
de
contribui para o trabalho.
Passo 3
Escrever o integral do trabalho específico do enunciado.
- Produto escalar
:
- Portanto o trabalho ao ir de
até é
Passo 4
Calcular o integral do Passo 3 com explicação do cálculo das primitivadas.
- Primitivas (antiderivadas) usadas:
- A primitiva de
é , porque . - A primitiva de
é , porque .
- A primitiva de
- Assim uma primitiva de
é . - Avaliando a integral definida:
- Unidade: trabalho em joules, logo
.
Passo 5
Entendendo energia potencial e se a força admite função potencial.
- Para que exista uma energia potencial
tal que , o campo de forças deve ser conservativo (ou seja, seu rotacional é nulo): . - Vamos verificar rapidamente o rotacional de
com . -
- Conclusão:
, o campo é conservativo e existe tal que .
Passo 6
Determinar a função potencial geral
.
- Pela relação
temos as componentes
- Integramos a primeira equação em
tratando como constantes:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
- Diferenciando essa expressão em relação a
e igualando a :
- Diferenciando em relação a
e igualando a :
onde
é constante real.
- Portanto a forma geral da energia potencial é
Passo 7
Obter
ao longo do eixo
e aplicar a condição de referência
.
- Ao longo do eixo
temos e , então
- A condição de referência pedida no enunciado significa escolher
. Avaliando:
Logo
.
- Assim, com essa escolha de referência,
Passo 8
Calcular
usando a expressão obtida.
- Substituindo
:
- Unidade: joules, então
. - Observação de verificação rápida: a variação de energia potencial de
a é , que coincide com a relação (isto é, o trabalho da força no deslocamento de a seria se calculado diretamente), mostrando consistência.
Resposta
(a)
(b)