Questão 2(3,5)
Uma força variável \mathbf{F}=\left(3 x^{2}+2 x\right) N i+4 N j+6 N k atua sobre um corpo que move-se apenas ao longo do eixo x. Determine:
a) (2,0) O trabalho realizado ao deslocar o corpo da posição x=1 \mathrm{~m} até x=3 \mathrm{~m}.
b) (1,5) Tomando o valor de referência da energia potencial como \mathrm{U}(\mathrm{x}=0), determine o valor de \mathrm{U}(\mathrm{x}=10 \mathrm{~m}).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Força vetorial fornecida: \mathbf{F}=\bigl(3x^{2}+2x\bigr)\,\mathrm{N}\,\mathbf{i}+4\,\mathrm{N}\,\mathbf{j}+6\,\mathrm{N}\,\mathbf{k}.
  • Movimento do corpo: o corpo move-se apenas ao longo do eixo x.
  • Intervalos pedidos:
    • (a) calcular o trabalho realizado ao deslocar o corpo de x=1\\ \mathrm{m} até x=3\\ \mathrm{m}.
    • (b) tomando como referência o valor da energia potencial em x=0 (ou seja, escolhendo U(0)=0), determinar U(10\\ \mathrm{m}).
  • Informação implícita importante: o movimento é unidimensional ao longo de x, então o deslocamento infinitesimal pode ser escrito usando apenas dx na direção \mathbf{i}.

Passo 2

Conceito de trabalho para força variável e como aplicá-lo aqui.
  • Definição prática: o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma trajetória é o integral de linha do produto escalar da força pelo deslocamento:
W=\int_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • Como o corpo só se move ao longo do eixo x, a trajetória é a reta no sentido do eixo x e o vetor deslocamento infinitesimal é
d\mathbf{r}=dx\,\mathbf{i}.
  • Explicando o produto escalar: para vetores \mathbf{A}=A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}+A_z\mathbf{k} e \mathbf{B}=B_x\mathbf{i}+B_y\mathbf{j}+B_z\mathbf{k},
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
Aqui, d\mathbf{r} tem componentes (dx,0,0), então só o componente x de \mathbf{F} contribui para o trabalho.

Passo 3

Escrever o integral do trabalho específico do enunciado.
  • Produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}:
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\bigl(3x^{2}+2x\bigr)\,dx + 4\cdot 0 + 6\cdot 0 =\bigl(3x^{2}+2x\bigr)\,dx.
  • Portanto o trabalho ao ir de x=1 até x=3 é
W=\int_{1}^{3}\bigl(3x^{2}+2x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular o integral do Passo 3 com explicação do cálculo das primitivadas.
  • Primitivas (antiderivadas) usadas:
    • A primitiva de 3x^{2} é x^{3}, porque \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
    • A primitiva de 2x é x^{2}, porque \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Assim uma primitiva de \bigl(3x^{2}+2x\bigr) é x^{3}+x^{2}.
  • Avaliando a integral definida:
W=\bigl[x^{3}+x^{2}\bigr]_{1}^{3}=\bigl(3^{3}+3^{2}\bigr)-\bigl(1^{3}+1^{2}\bigr)=\bigl(27+9\bigr)-\bigl(1+1\bigr)=36-2=34.
  • Unidade: trabalho em joules, logo W=34\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Entendendo energia potencial e se a força admite função potencial.
  • Para que exista uma energia potencial U(\mathbf{r}) tal que \mathbf{F}=-\nabla U, o campo de forças deve ser conservativo (ou seja, seu rotacional é nulo): \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
  • Vamos verificar rapidamente o rotacional de \mathbf{F}=(P,Q,R) com P=3x^{2}+2x,\\ Q=4,\\ R=6.
    • \dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}=0-0=0.
    • \dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}=0-0=0.
    • \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=0-0=0.
  • Conclusão: \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}, o campo é conservativo e existe U(\mathbf{r}) tal que \mathbf{F}=-\nabla U.

Passo 6

Determinar a função potencial geral U(x,y,z).
  • Pela relação \mathbf{F}=-\nabla U temos as componentes
\frac{\partial U}{\partial x} = -\bigl(3x^{2}+2x\bigr),\qquad \frac{\partial U}{\partial y} = -4,\qquad \frac{\partial U}{\partial z} = -6.
  • Integramos a primeira equação em x tratando y,z como constantes:
U(x,y,z) = -\int\bigl(3x^{2}+2x\bigr)\,dx = -x^{3}-x^{2}+h(y,z),
onde h(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.
  • Diferenciando essa expressão em relação a y e igualando a -4:
\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial y}=-4 \quad\Rightarrow\quad h(y,z)=-4y+k(z).
  • Diferenciando em relação a z e igualando a -6:
\frac{\partial U}{\partial z}=k'(z)=-6 \quad\Rightarrow\quad k(z)=-6z+C,
onde C é constante real.
  • Portanto a forma geral da energia potencial é
U(x,y,z)=-x^{3}-x^{2}-4y-6z+C.

Passo 7

Obter U ao longo do eixo x e aplicar a condição de referência U(0)=0.
  • Ao longo do eixo x temos y=0 e z=0, então
U(x)=-x^{3}-x^{2}+C.
  • A condição de referência pedida no enunciado significa escolher U(0)=0. Avaliando:
U(0)=-0-0+C=C.
Logo C=0.
  • Assim, com essa escolha de referência,
U(x)=-x^{3}-x^{2}.

Passo 8

Calcular U(10\\ \mathrm{m}) usando a expressão obtida.
  • Substituindo x=10\\ \mathrm{m}:
U(10)=-10^{3}-10^{2}=-1000-100=-1100.
  • Unidade: joules, então U(10)=-1100\\ \mathrm{J}.
  • Observação de verificação rápida: a variação de energia potencial de x=0 a x=10 é \Delta U=U(10)-U(0)=-1100\\ \mathrm{J}, que coincide com a relação \Delta U=-W_{0\to10} (isto é, o trabalho da força no deslocamento de 0 a 10 seria +1100\\ \mathrm{J} se calculado diretamente), mostrando consistência.

Resposta

(a) W=\;34\\ \mathrm{J}
(b) U(10\\ \mathrm{m})=\;-1100\\ \mathrm{J}

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