onde \vec{r} é o vetor posição do ponto no qual o campo é calculado.
(a) Calcule a energia eletrostática desta configuração de carga e interprete o resultado.
(b) Desde a segunda metade do século passado, quando a existência de elétrons, prótons e nêutrons ficou definitivamente estabelecida, o “tamanho” destas estruturas passou a ser tema de intensa investigação científica.
De acordo com o artigo de Chambers e Hofstadter (Phys. Rev. 1031454 (1956)), assuma que o próton é esférico e que a sua densidade de carga tenha a forma
\rho_{p}(r)=b_{0} \frac{e^{-\alpha r}}{r^{2}},
onde estamos trabalhando em coordenadas polares esféricas tomando a origem do sistema de coordenadas no centro do próton. Neste modelo, a densidade de carga é determinada por dois parâmetros: b_{0} e \alpha. Assuma que ambos são reais e positivos. Isto significa que, a rigor, precisamos de duas equações para determiná-los. Sejam Q_{p} a carga do próton e R_{p} o seu raio. A equação que conecta \rho_{p}(\vec{r}) e Q_{p} é
Q_{p}=\int \rho_{p}(\vec{r}) d^{3} \vec{r}
onde d^{3} \vec{r} é o elemento de volume infinitesimal e a integração deve ser realizada ao longo de todo o espaço.
Tecnicamente, o que se determina em laboratório é o raio quadrático médio, dado pela expressão:
Encontre as equações que permitem determinar b_{0} e \alpha se os valores de Q_{p} e R_{p} forem obtidos experimentalmente.
(c) Determine os valores numéricos de b_{0} e \alpha em unidades do SI sabendo que Q_{p}= 1,602 \times 10^{-19} C e R_{p}=0,800 \times 10^{-15} \mathrm{~m}.
(d) Determine o campo elétrico gerado por esta densidade de carga. Faça um esboço do gráfico de |\vec{E}(\vec{r})| por r.
(e) Determine o potencial eletrostático \Phi(\vec{r}) associado a esta densidade de carga considerando o zero de potencial no infinito. Faça um esboço do gráfico de \Phi(r) por r.
Observação: sugere-se estudar a função exponencial integral para resolver este item e expressar a resposta em função da mesma.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar direitinho para a gente não se perder):
Dados fornecidos:
Campo elétrico de uma carga puntiforme Q na origem:
Modelo do próton (soma de carga esférica com origem no centro):
\rho_{p}(r)=b_{0}\frac{e^{-\alpha r}}{r^{2}},
com b_{0}>0 e \alpha>0.
Carga do próton conhecida: Q_{p}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Raio quadrático médio conhecido: R_{p}=0{,}800\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.
O que é pedido:
(a) Calcular a energia eletrostática da configuração de uma carga pontual Q e interpretar o resultado.
(b) Para o modelo do próton, encontrar as equações que permitem determinar b_{0} e \alpha dado Q_{p} e R_{p}. (A integração do volume é sobre todo o espaço.)
(c) Calcular numericamente b_{0} e \alpha em unidades SI usando os valores fornecidos.
(d) Determinar o campo elétrico \vec{E}(\vec{r}) gerado por essa densidade de carga (expressão para todo r) e esboçar o gráfico de |\vec{E}(r)| em função de r.
(e) Determinar o potencial eletrostático \Phi(\vec{r}) com \Phi(\infty)=0, expressá-lo usando a função exponencial integral, e esboçar o gráfico de \Phi(r) em função de r.
Passo 2
(a) Vamos primeiro lembrar a fórmula física que diz quanta energia há no campo elétrico. A densidade de energia eletrostática (energia por unidade de volume) é
Aqui \epsilon_0 é a permissividade do vácuo e |\vec{E}|^2 é o quadrado do módulo do campo. A energia total é a integral dessa densidade sobre todo o espaço:
Isto vale sempre, inclusive para uma carga pontual, desde que a integral exista.
Passo 3
(a) Substituímos o campo da carga pontual \vec{E}(\vec{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{r^{2}}\hat r na expressão de U. Primeiro calculamos |\vec{E}|^{2}:
Agora usamos coordenadas esféricas para integrar sobre todo o espaço: d^{3}\vec{r}=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. A integral angular dá 4\pi. Assim
(a) A integral \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr diverge no limite inferior r\to 0. Para ver a divergência de forma explícita, regularizamos introduzindo um corte no interior: integramos de r=a até \infty e depois fazemos a\to 0^{+}:
Interpretação: o modelo clássico de carga pontual leva a uma energia eletrostática infinita (divergência de autoenergia). Isso mostra que o modelo pontual é fisicamente problemático ao nível clássico: a energia associada ao campo próximo à carga explode. Historicamente, isso motivou modelos com carga distribuída (ou tratamentos de renormalização na teoria quântica).
Passo 5
(b) Agora tratamos a densidade do próton \rho_{p}(r)=b_{0}\dfrac{e^{-\alpha r}}{r^{2}}. Precisamos das duas equações que determinam b_{0} e \alpha a partir de Q_{p} e R_{p}^{2}=\langle r^{2}\rangle.
Primeira equação: conservação da carga total
Q_{p}=\int_{\text{todo espaço}} \rho_{p}(\vec r)\,d^{3}\vec r.
Usando simetria esférica e d^{3}\vec r=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi, a integral angular dá 4\pi e os r^{2} se cancelam com o denominador:
Observação (importante e comum nessa conta): os dois fatores r^{2} que aparecem (um do r^{2} multiplicando \rho e outro do d^{3}r) deixam um único fator r^{2} na integral final, conforme escrito.
Agora usamos a relação Q_{p}=4\pi b_{0}/\alpha (do passo anterior) para eliminar b_{0}. Resolvend o sistema dá (mais diretamente fazendo a simplificação)
(Arredondei mantendo 3 algarismos significativos; a unidade de b_{0} é \mathrm{C/m} porque \rho=b_{0}e^{-\alpha r}/r^{2} precisa dar \mathrm{C/m^{3}}.)
Passo 8
(d) Campo elétrico gerado por \rho_{p}(r).
Para uma densidade esfericamente simétrica, a lei de Gauss diz que o campo radial em r depende apenas da carga total interior ao raio r:
Para r\to\infty tem-se e^{-\alpha r}\to 0 e recupera-se o campo de uma carga pontual:
\vec{E}(r)\xrightarrow{r\to\infty}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_{p}}{r^{2}}\hat r.
Para r\to 0 usamos a expansão 1-e^{-\alpha r}\simeq \alpha r-\tfrac{1}{2}\alpha^{2}r^{2}+\cdots. Então
\vec{E}(r)\simeq \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_{p}\,\alpha}{r}\hat r \quad (r\to 0),
ou seja, o campo diverge como 1/r ao aproximar-se do centro (menos singular que o 1/r^{2} da carga pontual, mas ainda divergente).
Esboço de |\vec{E}(r)| vs r (descritivo):
|\vec{E}(r)|\to +\infty quando r\to 0 (com comportamento ~constante\times 1/r).
|\vec{E}(r)| decresce monoticamente com r.
Para grandes r se comporta como \propto 1/r^{2} (cauda do ponto carga).
Visualmente é uma curva que parte vertical próxima de r=0, decresce rápido e tende à curva Q_{p}/(4\pi\epsilon_0 r^{2}) para grandes r.
Passo 9
(e) Potencial eletrostático \Phi(r) com \Phi(\infty)=0.
A primeira integral é \displaystyle\int_{r}^{\infty}\frac{1}{r'^{2}}dr'=\frac{1}{r}. A segunda integral exige a função exponencial integral. Definimos a função exponencial integral \mathrm{E}_{1}(x) por
(e) Comentários sobre o potencial e comportamento assintótico (para ajudar na prova):
Comportamento para r\to\infty: \mathrm{E}_{1}(\alpha r) decai exponencialmente (aproximadamente \displaystyle \mathrm{E}_{1}(x)\sim \frac{e^{-x}}{x} para x\to\infty), e e^{-\alpha r} também decai. Logo
recuperando o potencial de uma carga pontual à distância grande.
Comportamento para r\to 0: a expansão para pequeno argumento da exponencial integral é \mathrm{E}_{1}(x)\simeq -\gamma-\ln x + x+\cdots (onde \gamma é a constante de Euler). Assim \alpha\mathrm{E}_{1}(\alpha r) tem um termo -\alpha\ln r que diverge quando r\to 0. Portanto \Phi(r) diverge logaritmicamente para r\to 0. Isso é consistente com o fato de que o campo diverge como 1/r: integrar 1/r gera um \ln r.
Esboço de \Phi(r): tende a +\infty quando r\to 0 (divergência logarítmica), decresce ao aumentar r e para grandes r aproxima-se de Q_{p}/(4\pi\epsilon_0 r).
Resposta
(a) A energia eletrostática do campo de uma carga pontual diverge; regularizando até um raio mínimo a obtém-se
\vec{E}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_{p}\bigl(1-e^{-\alpha r}\bigr)}{r^{2}}\\ \hat r.
Esboço: |\vec{E}(r)|\to\infty quando r\to 0 (comportamento \sim const\times 1/r), decresce monotonicamente e para r\to\infty tende a Q_{p}/(4\pi\epsilon_0 r^{2}).
onde \mathrm{E}_{1}(x)=\displaystyle\int_{x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,dt. Esboço: \Phi(r)\to+\infty quando r\to 0 (divergência logarítmica) e \Phi(r)\to Q_{p}/(4\pi\epsilon_0 r) quando r\to\infty.