Um bloco com 20 N de peso está posicionado sobre um plano inclinado com ângulo de 45^{\circ}. Uma força externa F é aplicada ao longo da direção ascendente do plano. Há atrito entre o bloco e o plano inclinado. Determine o valor do coeficiente de atrito estático para que o bloco fique na iminência do movimento se:
a) \mathrm{F}=20 \sqrt{ } 2 \mathrm{~N}. Dado: (1 / \sqrt{ } 2)=0,7.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede o coeficiente de atrito estático necessário para que o bloco fique na iminência do movimento (ou seja, em equilíbrio estático limite).
  • Dados:
    • Peso do bloco: 20\\ \mathrm{N} (portanto mg=20\\ \mathrm{N}).
    • Plano inclinado com ângulo \theta=45^\circ.
    • Força externa aplicada para cima ao longo do plano: F=20\sqrt{2}\\ \mathrm{N}.
    • Informação numérica fornecida: \dfrac{1}{\sqrt{2}}=0,7 (é uma aproximação).
  • Pergunta a responder: determinar \mu_s (coeficiente de atrito estático) tal que o bloco esteja na iminência de mover-se.

Passo 2

Descrevendo as forças e escolhendo eixos:
  • Escolhe-se eixo paralelo ao plano (positivo para cima) e eixo perpendicular ao plano (positivo para fora do plano).
  • Forças atuando no bloco:
    • Peso vertical mg apontando para baixo, que tem componente paralela ao plano para baixo mg\sin\theta e componente perpendicular para dentro do plano mg\cos\theta.
    • Força externa F aplicada para cima ao longo do plano.
    • Força normal N perpendicular ao plano (para fora).
    • Força de atrito estático f_s, que, no limite de movimento para cima, atua para baixo (opõe-se ao movimento que tende a ocorrer).
  • Lembrete sobre o atrito estático: no limite de deslizamento vale a igualdade
f_s=\mu_s N,
onde \mu_s é o coeficiente que queremos encontrar e N é a normal.

Passo 3

Componentes do peso e expressão da normal:
  • A componente do peso paralela ao plano é
mg\sin\theta.
  • A componente do peso perpendicular ao plano (que determina a normal, na ausência de outras forças perpendiculares) é
mg\cos\theta.
  • Como não há outras forças no eixo perpendicular, a normal é
N=mg\cos\theta.
Explicação rápida: \sin\theta dá a razão entre a componente paralela e a magnitude mg; \cos\theta dá a razão entre a componente perpendicular e mg. Para \theta=45^\circ vale \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Equilíbrio ao longo do plano no limite de movimento para cima:
  • Tomando positivo para cima ao longo do plano, a soma das forças deve ser zero no equilíbrio limite:
F - mg\sin\theta - f_s = 0.
  • Substituindo f_s=\mu_s N e N=mg\cos\theta obtemos
F - mg\sin\theta - \mu_s (mg\cos\theta)=0.
  • Isolando \mu_s:
\mu_s=\dfrac{F - mg\sin\theta}{mg\cos\theta}.

Passo 5

Aplicando os valores e simplificando (maneira algébrica exata):
  • Colocando mg=20\\ \mathrm{N}, \theta=45^\circ com \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e F=20\sqrt{2}\\ \mathrm{N}, temos
\mu_s=\dfrac{20\sqrt{2}-20\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{20\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}}.
  • Factorizando 20 no numerador e denominador:
\mu_s=\dfrac{20\!\left(\sqrt{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)}{20\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}} =\dfrac{\sqrt{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}.
  • Dividindo pelo \dfrac{1}{\sqrt{2}} (ou multiplicando por \sqrt{2}):
\mu_s=\sqrt{2}\!\left(\sqrt{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = (\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}) - (\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}) =2-1=1.
  • Observação numérica: se quiser conferir com aproximações (usar \sqrt{2}\approx1{,}414 e \dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx0{,}707), obtém-se o mesmo resultado \mu_s\approx1. A aproximação fornecida \dfrac{1}{\sqrt{2}}=0,7 é muito grosseira; a conta exata mostra cancelamentos que levam a \mu_s=1 exatamente.

Passo 6

Interpretação física e checagem rápida:
  • Resultado \mu_s=1 significa que a força de atrito máxima disponível f_{s,\max}=\mu_s N é suficiente para equilibrar a diferença entre a força aplicada para cima e o componente do peso para baixo, mantendo o bloco em equilíbrio limite.
  • Checagem por componentes: com \theta=45^\circ tem-se mg\sin\theta=mg\cos\theta; como F=20\sqrt{2}=20\cdot\sqrt{2} isso gera exatamente o balanço que leva a \mu_s=1.

Resposta

\mu_s=1

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