Um bloco com 20 N de peso está posicionado sobre um plano inclinado com ângulo de
. Uma força externa F é aplicada ao longo da direção ascendente do plano. Há atrito entre o bloco e o plano inclinado. Determine o valor do coeficiente de atrito estático para que o bloco fique na iminência do movimento se:
a)
. Dado:
.
a)
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede o coeficiente de atrito estático necessário para que o bloco fique na iminência do movimento (ou seja, em equilíbrio estático limite).
- Dados:
- Peso do bloco:
(portanto ). - Plano inclinado com ângulo
. - Força externa aplicada para cima ao longo do plano:
. - Informação numérica fornecida:
(é uma aproximação).
- Peso do bloco:
- Pergunta a responder: determinar
(coeficiente de atrito estático) tal que o bloco esteja na iminência de mover-se.
Passo 2
Descrevendo as forças e escolhendo eixos:
- Escolhe-se eixo paralelo ao plano (positivo para cima) e eixo perpendicular ao plano (positivo para fora do plano).
- Forças atuando no bloco:
- Peso vertical
apontando para baixo, que tem componente paralela ao plano para baixo e componente perpendicular para dentro do plano . - Força externa
aplicada para cima ao longo do plano. - Força normal
perpendicular ao plano (para fora). - Força de atrito estático
, que, no limite de movimento para cima, atua para baixo (opõe-se ao movimento que tende a ocorrer).
- Peso vertical
- Lembrete sobre o atrito estático: no limite de deslizamento vale a igualdade
onde
é o coeficiente que queremos encontrar e
é a normal.
Passo 3
Componentes do peso e expressão da normal:
- A componente do peso paralela ao plano é
- A componente do peso perpendicular ao plano (que determina a normal, na ausência de outras forças perpendiculares) é
- Como não há outras forças no eixo perpendicular, a normal é
Explicação rápida:
dá a razão entre a componente paralela e a magnitude
;
dá a razão entre a componente perpendicular e
. Para
vale
.
Passo 4
Equilíbrio ao longo do plano no limite de movimento para cima:
- Tomando positivo para cima ao longo do plano, a soma das forças deve ser zero no equilíbrio limite:
- Substituindo
e obtemos
- Isolando
:
Passo 5
Aplicando os valores e simplificando (maneira algébrica exata):
- Colocando
, com e , temos
- Factorizando
no numerador e denominador:
- Dividindo pelo
(ou multiplicando por ):
- Observação numérica: se quiser conferir com aproximações (usar
e ), obtém-se o mesmo resultado . A aproximação fornecida é muito grosseira; a conta exata mostra cancelamentos que levam a exatamente.
Passo 6
Interpretação física e checagem rápida:
- Resultado
significa que a força de atrito máxima disponível é suficiente para equilibrar a diferença entre a força aplicada para cima e o componente do peso para baixo, mantendo o bloco em equilíbrio limite. - Checagem por componentes: com
tem-se ; como isso gera exatamente o balanço que leva a .