Questão 6
Uma função aleatória X tem função de distribuição de probabilidades dada por:
F(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & \text { se } & x<0 \\\\ 1 / 243 & \text { se } & 0 \leq x<1 \\\\ 11 / 243 & \text { se } & 1 \leq x<2 \\\\ 51 / 243 & \text { se } & 2 \leq x<3 \\\\ 131 / 243 & \text { se } & 3 \leq x<4 \\\\ 211 / 243 & \text { se } & 4 \leq x<5 \\\\ 1 & \text { se } & 5 \leq x \end{array}\right.
Assinale a opção correta:
\bigcirc X é do tipo discreto e \operatorname{Pr}(2<x<=4)=0,658
\bigcirc X é do tipo absolutamente contínuo e \operatorname{Pr}(2<x<=4)=0,506
\bigcirc X é do tipo absolutamente contínuo e \operatorname{Pr}(2<\mathrm{x}<=4)=0,461
\bigcirc X é do tipo discreto e \operatorname{Pr}(2<x<=4)=0,506
\bigcirc X não é do tipo discreto, nem do tipo absolutamente contínuo e \operatorname{Pr}(2<x<=4)=0,506

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x) de uma variável aleatória \,X, com valores constantes em intervalos inteiros:
F(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & \text{se} & x<0 \\\\ 1/243 & \text{se} & 0 \le x<1 \\\\ 11/243 & \text{se} & 1 \le x<2 \\\\ 51/243 & \text{se} & 2 \le x<3 \\\\ 131/243 & \text{se} & 3 \le x<4 \\\\ 211/243 & \text{se} & 4 \le x<5 \\\\ 1 & \text{se} & 5 \le x \end{array}\right.
O que o exercício pede:
  • identificar o tipo da variável \,X (discreto, absolutamente contínuo, ou nenhum dos dois);
  • calcular \operatorname{Pr}(2<X\le 4) e comparar com as opções dadas.

Passo 2

Conceito e como identificar pela F(x):
  • Uma variável é do tipo discreto quando a função de distribuição F tem saltos (descontinuidades do tipo degrau) em certos pontos; cada salto em x_0 corresponde a uma massa de probabilidade \operatorname{Pr}(X=x_0)=\Delta F(x_0)=F(x_0)-F(x_0^-), onde F(x_0^-) é o limite à esquerda.
  • Uma variável é absolutamente contínua quando F é contínua e diferenciável quase em todo lugar e existe uma densidade f tal que F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt; nesse caso F não tem saltos (é contínua).
    Observação prática: olhando para F(x) acima nota-se que F é constante dentro de cada intervalo [k,k+1) e muda de valor nos pontos inteiros 0,1,2,3,4,5. Isso indica saltos em pontos discretos — sinal de distribuição discreta. Vamos quantificar os saltos.

Passo 3

Calcular as massas (saltos) em cada ponto inteiro relevante. Para cada ponto x_0 tomamos \operatorname{Pr}(X=x_0)=F(x_0)-F(x_0^-).
  • Em x_0=0:
\operatorname{Pr}(X=0)=F(0)-F(0^-)=\frac{1}{243}-0=\frac{1}{243}.
  • Em x_0=1:
\operatorname{Pr}(X=1)=F(1)-F(1^-)=\frac{11}{243}-\frac{1}{243}=\frac{10}{243}.
  • Em x_0=2:
\operatorname{Pr}(X=2)=F(2)-F(2^-)=\frac{51}{243}-\frac{11}{243}=\frac{40}{243}.
  • Em x_0=3:
\operatorname{Pr}(X=3)=F(3)-F(3^-)=\frac{131}{243}-\frac{51}{243}=\frac{80}{243}.
  • Em x_0=4:
\operatorname{Pr}(X=4)=F(4)-F(4^-)=\frac{211}{243}-\frac{131}{243}=\frac{80}{243}.
  • Em x_0=5:
\operatorname{Pr}(X=5)=F(5)-F(5^-)=1-\frac{211}{243}=\frac{32}{243}.
Verificação rápida (somando as massas):
\frac{1+10+40+80+80+32}{243}=\frac{243}{243}=1,
ou seja, todas as probabilidades somam 1 — consistência confirmada.
Conclusão parcial: há massas positivas em pontos isolados (0,1,2,3,4,5) e F é constante entre esses pontos. Portanto \,X é do tipo discreto (não é absolutamente contínua).

Passo 4

Calcular \operatorname{Pr}(2<X\le 4).
Método 1 — usando a propriedade dos cdfs:
Para qualquer cdf F vale \operatorname{Pr}(a<X\le b)=F(b)-F(a). Aqui a=2 e b=4. Note que F(4) é o valor em x=4, que pela definição é 211/243; e F(2) é 51/243. Assim
\operatorname{Pr}(2<X\le 4)=F(4)-F(2)=\frac{211}{243}-\frac{51}{243}=\frac{160}{243}.
Método 2 — somando as massas dos pontos dentro do intervalo (2,4]:
Os únicos átomos neste intervalo são x=3 e x=4. Então
\operatorname{Pr}(2<X\le 4)=\operatorname{Pr}(X=3)+\operatorname{Pr}(X=4)=\frac{80}{243}+\frac{80}{243}=\frac{160}{243}.
Conversão para decimal (com separador decimal em vírgula, conforme enunciado):
\frac{160}{243}\approx 0,658436\dots \approx 0,658 \\ (\text{arredondado a três casas}).ê

Passo 5

Juntando: \,X é do tipo discreto e \operatorname{Pr}(2<X\le 4)=\dfrac{160}{243}\approx 0,658. Isso corresponde exatamente à primeira opção apresentada no enunciado.

Resposta

X é do tipo discreto e \operatorname{Pr}(2<X\le 4)=0,658

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