1^{a} Questão: ( 2.5 pontos) Encontre a soluçāo geral do sistema nāo homogêneo
X^{\prime}=A X+\mathbf{f}(t), onde A=\left(\begin{array}{cc}4 & -2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), \quad \mathbf{f}(t)=\binom{e^{3 t}}{0}

Passo 1

O sistema dado é
X'(t)=A X(t)+\mathbf{f}(t),
com
A=\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{f}(t)=\begin{pmatrix}e^{3t}\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar a solução geral X(t) do sistema não homogêneo — ou seja, a solução geral que contém a solução do sistema homogêneo e uma solução particular qualquer do sistema completo.
Informações relevantes do enunciado:
  • A matriz \,A tem entradas a_{11}=4, a_{12}=-2, a_{21}=1, a_{22}=1.
  • O termo não homogêneo é \mathbf{f}(t)=\big(e^{3t},0\big)^T, que é um múltiplo exponencial de e^{3t}.
  • A solução geral será da forma X(t)=X_h(t)+X_p(t), onde X_h é a solução geral do homogêneo X'=AX e X_p é uma solução particular do não homogêneo.]

Passo 2

Vamos resolver primeiro o sistema homogêneo
X'(t)=A X(t).
Para isso calculamos os autovalores de A pela característica:
\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix}4-\lambda & -2\\[4pt] 1 & 1-\lambda\end{vmatrix} =(4-\lambda)(1-\lambda)+2.
Expandindo:
(4-\lambda)(1-\lambda)+2=\lambda^{2}-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3).
Portanto os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=3 (reais e distintos).]

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor.
  • Para \lambda_1=2, resolvemos (A-2I)v=0:
\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}v=0
daí 2x-2y=0\Rightarrow x=y. Um autovetor é v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Para \lambda_2=3, resolvemos (A-3I)v=0:
\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}v=0
daí x-2y=0\Rightarrow x=2y. Um autovetor é v_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Como os autovalores são distintos, a solução geral do homogêneo é
X_h(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} + C_2 e^{3t}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.]

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular X_p(t) do sistema não homogêneo.
Como a força \mathbf{f}(t)=e^{3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} é exponencial e^{3t} e 3 é um autovalor de A, temos ressonância com o termo homogêneo associado a e^{3t}. O método mais seguro e direto é o da variação de constantes (ou variação de parâmetros) usando a matriz fundamental e^{At}.
Usaremos a fórmula de variação de constantes para sistemas lineares constantes:
X_p(t)=e^{At}\int_{0}^{t} e^{-A s}\,\mathbf{f}(s)\,ds,
(escolhemos limite inferior 0 para obter uma particular com X_p(0)=0; qualquer outra constante de integração será absorvida em X_h).]

Passo 5

Para calcular e^{-As}\mathbf{f}(s) é conveniente diagonalizar A. Montamos a matriz S cujas colunas são os autovetores:
S=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}, \qquad A=SDS^{-1}.
Calculamos S^{-1}. Como \det S=1\cdot1-2\cdot1=-1, obtemos
S^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculemos e^{-As}\mathbf{f}(s). Usando e^{-As}=S e^{-D s} S^{-1} e \mathbf{f}(s)=e^{3s}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}, temos
e^{-As}\mathbf{f}(s)=S e^{-D s} S^{-1}\big(e^{3s}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\big) = S\big(e^{-D s}(S^{-1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix})\big)\,e^{3s}.
Primeiro S^{-1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Então
e^{-D s}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^{-2s} & 0\\[4pt]0 & e^{-3s}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-e^{-2s}\\[4pt] e^{-3s}\end{pmatrix}.
Multiplicando por e^{3s} aparece
e^{3s}\begin{pmatrix}-e^{-2s}\\[4pt] e^{-3s}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-e^{s}\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Finalmente multiplicando por S:
e^{-As}\mathbf{f}(s)=S\begin{pmatrix}-e^{s}\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-e^{s}\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-e^{s}+2\\[4pt]-e^{s}+1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora integramos de 0 a t:
\int_{0}^{t} e^{-As}\mathbf{f}(s)\,ds =\int_{0}^{t}\begin{pmatrix}-e^{s}+2\\[4pt]-e^{s}+1\end{pmatrix}ds =\begin{pmatrix}-e^{t}+2t+1\\[4pt]-e^{t}+t+1\end{pmatrix}.
(As constantes de integração foram fixadas pelo limite inferior 0.)]

Passo 8

Finalmente calculamos
X_p(t)=e^{At}\int_{0}^{t} e^{-As}\mathbf{f}(s)\,ds = S e^{D t} S^{-1}\begin{pmatrix}-e^{t}+2t+1\\[4pt]-e^{t}+t+1\end{pmatrix}.
Para simplificar, primeiro avaliamos S^{-1} vezes o vetor integral:
S^{-1}\begin{pmatrix}-e^{t}+2t+1\\[4pt]-e^{t}+t+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-e^{t}+2t+1\\[4pt]-e^{t}+t+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-e^{t}+1\\[4pt]t\end{pmatrix}.
Multiplicando por e^{D t}=\operatorname{diag}(e^{2t},e^{3t}) obtemos
e^{D t}\begin{pmatrix}-e^{t}+1\\[4pt]t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^{2t}(-e^{t}+1)\\[4pt]e^{3t}t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-e^{3t}+e^{2t}\\[4pt]t e^{3t}\end{pmatrix}.
Por fim
X_p(t)=S\begin{pmatrix}-e^{3t}+e^{2t}\\[4pt]t e^{3t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-e^{3t}+e^{2t}\\[4pt]t e^{3t}\end{pmatrix}.
Fazendo as multiplicações obtemos os componentes:
X_p(t)=\begin{pmatrix}e^{2t}+e^{3t}(2t-1)\\[6pt]e^{2t}+e^{3t}(t-1)\end{pmatrix}.]

Passo 9

Portanto a solução geral do sistema não homogêneo é a soma X(t)=X_h(t)+X_p(t). Escrevendo explicitamente:
X(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} + C_2 e^{3t}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}e^{2t}+e^{3t}(2t-1)\\[6pt]e^{2t}+e^{3t}(t-1)\end{pmatrix},
com C_1,C_2\in\mathbb{R} constantes arbitrárias.]

Resposta

X(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} + C_2 e^{3t}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}e^{2t}+e^{3t}(2t-1)\\[6pt]e^{2t}+e^{3t}(t-1)\end{pmatrix}.]

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