O que se pede: encontrar a solução geral X(t) do sistema não homogêneo — ou seja, a solução geral que contém a solução do sistema homogêneo e uma solução particular qualquer do sistema completo.
Informações relevantes do enunciado:
A matriz \,A tem entradas a_{11}=4, a_{12}=-2, a_{21}=1, a_{22}=1.
O termo não homogêneo é \mathbf{f}(t)=\big(e^{3t},0\big)^T, que é um múltiplo exponencial de e^{3t}.
A solução geral será da forma X(t)=X_h(t)+X_p(t), onde X_h é a solução geral do homogêneo X'=AX e X_p é uma solução particular do não homogêneo.]
Passo 2
Vamos resolver primeiro o sistema homogêneo
X'(t)=A X(t).
Para isso calculamos os autovalores de A pela característica:
Agora precisamos de uma solução particular X_p(t) do sistema não homogêneo.
Como a força \mathbf{f}(t)=e^{3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} é exponencial e^{3t} e 3 é um autovalor de A, temos ressonância com o termo homogêneo associado a e^{3t}. O método mais seguro e direto é o da variação de constantes (ou variação de parâmetros) usando a matriz fundamental e^{At}.
Usaremos a fórmula de variação de constantes para sistemas lineares constantes: