Questão 7 - Uma pedra está caindo dentro d’água, com uma aceleração continuamente decrescente (considere o eixo y orientado para cima). Suponha que a aceleração da pedra em função da velocidade tem a forma a(v)=g-b v onde g é a aceleração da gravidade e b é uma constante positiva, que depende da forma da pedra e de propriedades físicas do fluido. (a) Quais são as unidades SI de b? (b) Mostre que a aceleração em função do tempo é dada pela expressão a(t)=g e^{-b t}, se a pedra é lançada do repouso em t =0. (b) Obtenha a expressão para a velocidade e a posição da pedra em função do tempo. (c) Mostre que a velocidade terminal (i.e a velocidade para qual \mathrm{a}(\mathrm{t})=0 ) é dada por g / b.
Passo 1
O enunciado fornece a relação entre a aceleração e a velocidade da pedra:
a(v)=g-b\,v,
onde g é a constante associada à gravidade (tomada como positiva no enunciado) e b>0 é uma constante que depende do fluido e da forma da pedra. A pedra é lançada do repouso em t=0, isto é, v(0)=0. O que o exercício pede, organizado claramente:
(a) determinar as unidades SI de b;
(b) mostrar que, com v(0)=0, a aceleração em função do tempo é \displaystyle a(t)=g e^{-b t};
(b') (o enunciado tem outro (b)) obter expressões para a velocidade v(t) e a posição y(t) em função do tempo (assumir y(0)=y_0 se necessário);
(c) mostrar que a velocidade terminal (onde a(t)=0) é \displaystyle g/b.
Dados importantes a guardar: \,a=\dfrac{dv}{dt}\, e as unidades básicas SI são metro (\mathrm{m}), segundo (\mathrm{s}).
Passo 2
Unidades de b por análise dimensional. A relação é
a = g - b v.
Como g e a têm unidades de aceleração, ambas têm dimensão \mathrm{L T^{-2}} (metros por segundo ao quadrado). A velocidade v tem dimensão \mathrm{L T^{-1}}. Para que b v tenha as mesmas unidades de a devemos ter
Portanto, em unidades SI, \displaystyle b tem unidades de \mathrm{s^{-1}} (ou 1/\mathrm{s}).
Passo 3
Derivando uma ODE para a(t). Começo de a(v)=g-bv e uso que a=\dfrac{dv}{dt}. Diferencio ambos os lados em relação a t:
\frac{da}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(g-bv\bigr) = -b\frac{dv}{dt} = -b a,
porque g é constante. Assim obtemos a equação diferencial simples
\frac{da}{dt} = -b\,a.
Esta é uma ODE linear de primeira ordem homogênea e pode ser resolvida por separação de variáveis. Faço separação:
\frac{1}{a}\,da = -b\,dt.
Integro dos tempos iniciais até t:
\int_{a(0)}^{a(t)}\frac{1}{a'}\,da' = \int_{0}^{t}-b\,dt' \quad\Rightarrow\quad \ln\!\bigl(\tfrac{a(t)}{a(0)}\bigr) = -b t.
A condição inicial é v(0)=0, então a(0)=g-bv(0)=g. Substituindo,
\ln\!\bigl(\tfrac{a(t)}{g}\bigr) = -b t \quad\Rightarrow\quad a(t)=g\,e^{-b t}.
Isso mostra exatamente a expressão pedida para a(t).
Comentário didático rápido: a equação \dfrac{da}{dt}=-b a é a mesma forma que aparece em decaimento/exponencial (como em RC, radioatividade etc.). A solução é um decaimento exponencial com constante de tempo 1/b.
Passo 4
Obter v(t) integrando a(t). Sabendo que \dfrac{dv}{dt}=a(t)=g e^{-b t} e v(0)=0, faço a integral definida:
Alternativa (método clássico para prova): resolver diretamente a ODE linear
\frac{dv}{dt}+b v=g
usando fator integrante e^{b t}; chega-se à mesma solução v(t)=\dfrac{g}{b}(1-e^{-b t}). Isso é bom lembrar na prova caso queiram ver o método “fator integrante”.
Passo 5
Obter y(t) integrando v(t). Vou usar y(0)=y_0 (caso específico y_0=0 se desejado). Como \dfrac{dy}{dt}=v(t),
Se quiser a posição tomando y_0=0, basta pôr y_0=0 na expressão acima.
Observação física sobre sinais: o enunciado adotou a relação a=g-bv tal qual; se na sua prova a convenção for eixo y para cima com g negativo (a=-g-bv etc.), o procedimento matemático é o mesmo, apenas as constantes trocarão de sinal conforme a convenção. Aqui trabalhamos estritamente com a expressão dada.
Passo 6
Velocidade terminal. A velocidade terminal é o valor limite da velocidade quando t\to\infty. Da expressão de v(t):
Portanto a velocidade terminal é \displaystyle \frac{g}{b}. Também nota-se que a(t)=g e^{-b t}\to 0 quando t\to\infty, o que é consistente: aceleração vai a zero quando a velocidade alcança o valor terminal.
Passo 7
Se der a em função de v, uma boa manobra é escrever a=\dfrac{dv}{dt} e, em vez de sair tentando integrar direto, verificar se dá para obter uma ODE direta para a (como aqui: da/dt=-b a).
Para \dfrac{dv}{dt}+b v=g lembrar do fator integrante e^{b t} para resolver rápido.
Decore formas padrão: solução de \dfrac{dx}{dt}=-\lambda x é x(t)=x(0)e^{-\lambda t}, e \int_0^t e^{-\lambda s}ds=\dfrac{1}{\lambda}(1-e^{-\lambda t}).