QUESTÃO 3(2,5) : A função f(x, y)=\left\{\begin{array}{cll}e^{\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua no ponto (0,0) ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A função é
f(x,y)=\begin{cases} e^{\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[4pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
  • A pergunta: a função é contínua no ponto (0,0)?]

Passo 2

Recordando o que significa ser contínua em (0,0): a função f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
No nosso caso, f(0,0)=0. Portanto precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0
ou não.

Passo 3

Vamos estudar o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) para (x,y)\neq(0,0). É conveniente usar r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (a distância ao ponto (0,0)). Note que sempre vale
|x|\le r.
Então, para (x,y)\neq(0,0),
\left|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| = \frac{|x|^{3}}{r^{2}} \le \frac{r^{3}}{r^{2}}=r.
Essa desigualdade mostra que o expoente \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} tem módulo dominado por r.

Passo 4

Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), da desigualdade do passo anterior segue que
\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\to 0\quad\text{quando}\quad (x,y)\to(0,0).
A função exponencial é contínua, logo aplicando a exponencial obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}=e^{0}=1.
(Como verificação alternativa rápida: seguindo a reta y=0 temos f(x,0)=e^{x^{3}/x^{2}}=e^{x}\to 1 quando x\to 0, consistente com o resultado.)

Passo 5

Encontramos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=1,
enquanto f(0,0)=0. Como o limite não coincide com o valor da função no ponto, f não é contínua em (0,0).

Resposta

Não. A função não é contínua em (0,0).

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