Questão 7 Fundamentos da Teoria de Falhamento de Anderson

A Teoria de Anderson baseia-se no critério de falha de Mohr-Coulomb e estabelece que a superfície livre da Terra é um plano de tensão principal. Sabendo que o atrito interno típico das rochas é de 0,6 , o ângulo entre a tensão principal máxima ( \sigma_{1} ) e o plano de ruptura é de 30^{\circ}.
a) Descreva a configuração dos eixos ortogonais \sigma_{1} e \sigma_{3} em relação à superfície da Terra para a formação de falhas Normais, Inversas e Transcorrentes.
b) Justifique por que, segundo Anderson, as falhas inversas tipicamente apresentam mergulho de 30^{\circ}, enquanto as normais apresentam mergulho de 60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que há no problema):
  • Dados fornecidos:
    • Coeficiente de atrito interno típico das rochas: \,0,6.
    • É mencionado que o ângulo entre a tensão principal máxima \sigma_{1} e o plano de ruptura vale 30^\circ.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    • (a) Descrever a configuração dos eixos ortogonais \sigma_{1} e \sigma_{3} em relação à superfície da Terra para a formação de falhas Normais, Inversas e Transcorrentes.
    • (b) Justificar por que, segundo Anderson, as falhas inversas tipicamente apresentam mergulho de 30^\circ, enquanto as normais apresentam mergulho de 60^\circ.

Passo 2

Conceitos básicos que vou usar (explicando devagar e sem pular etapas):
  • Critério de resistência de Mohr–Coulomb (forma simples, sem coesão): \tau = \sigma_n \tan\varphi,
onde:
  • \tau é a tensão cortante na superfície de ruptura,
  • \sigma_n é a tensão normal nessa superfície,
  • \varphi é o ângulo de atrito interno (em graus).
  • Relação entre coeficiente de atrito e ângulo de atrito: o coeficiente de atrito simples \mu é \mu=\tan\varphi. Logo, dado \mu=0,6 podemos calcular \varphi por \varphi=\arctan(0,6).
Vou calcular esse \varphi mais à frente, mas primeiro explico a regra geométrica que relaciona \varphi ao ângulo entre \sigma_1 e o plano de ruptura.

Passo 3

Explicação geométrica (Mohr e a relação angular): por que aparece um ângulo fixo entre \sigma_1 e o plano de ruptura?
  • Mapa mental rápido do círculo de Mohr:
    • Cada plano real (orientado a um ângulo \theta em relação à direção de \sigma_1) corresponde a um ponto no círculo de Mohr situado a um ângulo 2\theta medido a partir do ponto que representa \sigma_1.
    • No círculo de Mohr, o eixo horizontal é \sigma_n e o eixo vertical é \tau.
  • A falha, segundo Mohr–Coulomb sem coesão, acontece quando o ponto correspondente ao estado de tensões numa dada orientação fica sobre a reta \tau=\sigma_n\tan\varphi (a “reta de atrito”) — geometricamente essa reta passa pela origem e tangencia o círculo de Mohr no ponto de falha.
  • Propriedade geométrica importante: a reta de falha é tangente ao círculo; o raio até o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente. A reta tem inclinação \varphi em relação ao eixo das abscissas no diagrama ( \sigma_n- \tau), então o raio até o ponto de tangência forma um ângulo de 90^\circ-\varphi com a horizontal do diagrama.
  • O ângulo no círculo de Mohr entre o ponto que representa \sigma_1 (à direita do círculo) e o ponto de tangência é, portanto, 90^\circ-\varphi.
  • Como o ângulo no espaço físico é metade do ângulo no círculo de Mohr (a transformação faz 2\theta \leftrightarrow \theta), concluímos: 2\theta = 90^\circ - \varphi \quad\Longrightarrow\quad \theta = 45^\circ - \frac{\varphi}{2},
onde \theta é o ângulo entre a direção de \sigma_1 e o plano de ruptura (medido no espaço físico).
Observação pedagógica: esse resultado é clássico e independente das magnitudes absolutas de \sigma_1 e \sigma_3 — ele vem da geometria da tangência no círculo de Mohr.

Passo 4

Calcular numericamente o ângulo \varphi e \theta usando \mu=0,6:
  • Primeiro, o ângulo de atrito \varphi é \varphi=\arctan(0,6)\approx 30,964^\circ\approx 31^\circ.
  • Aplicando a fórmula \theta = 45^\circ - \dfrac{\varphi}{2}:
\theta = 45^\circ - \frac{30,964^\circ}{2}=45^\circ - 15,482^\circ \approx 29,518^\circ\approx 30^\circ.
Portanto, a geometria previsível dá \theta\approx 30^\circ, que coincide com a afirmação do enunciado.

Passo 5

Interpretação espacial para os três tipos de falha (descrever a orientação de \sigma_1 e \sigma_3 em relação à superfície da Terra):
  • Regra de Anderson (resumo em palavras): a superfície livre da Terra é um plano de tensão principal (um dos eixos principais é vertical por simetria da gravidade). Assim, dependendo do tipo de campo de tensões, o eixo principal vertical pode ser \sigma_1,\sigma_2 ou \sigma_3.
  • Falha Normal (extensional):
    • \sigma_1 é vertical (é a maior compressão: peso superior comprime verticalmente) e \sigma_3 é horizontal (menor compressão).
    • Logo, os eixos ortogonais ficam: \sigma_1 apontando vertical para baixo e \sigma_3 em direção horizontal.
  • Falha Inversa / Thrust (compressional):
    • \sigma_1 é horizontal (máxima compressão horizontal), enquanto \sigma_3 é vertical (menor compressão).
    • Portanto, \sigma_1 é um eixo horizontal e \sigma_3 é o eixo vertical.
  • Falha Transcorrente / Strike-slip:
    • Os dois extremos \sigma_1 e \sigma_3 são horizontais (um horizontal máximo, outro horizontal mínimo) e \sigma_2 é vertical.
    • Assim, \sigma_1 e \sigma_3 ficam ambos no plano horizontal (ortogonais entre si), e a ruptura tende a ocorrer em planos verticais (ou quase verticais), porque a direção de máximo corte entre \sigma_1 e \sigma_3 está num plano vertical.

Passo 6

Ligando a fórmula angular à inclinação observada das falhas (resposta à parte b):
  • Já temos \theta\approx 30^\circ como o ângulo entre \sigma_1 e o plano de ruptura.
  • Para falha inversa (thrust): \sigma_1 é horizontal. Então o plano de ruptura faz ângulo \theta\approx 30^\circ em relação à horizontal — isto é, o mergulho (dip) da falha medido a partir da horizontal é aproximadamente 30^\circ. É por isso que falhas inversas costumam ser rasas (mergulho pequeno).
  • Para falha normal: \sigma_1 é vertical. O ângulo entre a vertical ( \sigma_1) e o plano de ruptura é \theta\approx 30^\circ; portanto o plano de ruptura forma com a horizontal um ângulo de 90^\circ-\theta \approx 90^\circ-30^\circ=60^\circ,
ou seja, mergulho da falha normal típico é \approx 60^\circ.
  • Para falhas transcorrentes: como \sigma_1 e \sigma_3 são horizontais, o plano que separa essas direções tende a ser vertical — por isso falhas strike-slip têm mergulho perto de 90^\circ.
Intuição final: a diferença de mergulho entre normais e inversas vem de onde está \sigma_1 (vertical ou horizontal). A mesma lei de atrito (mesmo \varphi) fixa o ângulo entre \sigma_1 e o plano de ruptura em \theta\approx 30^\circ; se \sigma_1 é horizontal, a falha fica com mergulho \theta (≈30°), se \sigma_1 é vertical a falha fica inclinada \,90^\circ-\theta (≈60°).

Resposta

(a) Falha Normal: \sigma_{1} vertical (para baixo) e \sigma_{3} horizontal.
Falha Inversa: \sigma_{1} horizontal e \sigma_{3} vertical.
Falha Transcorrente: \sigma_{1} e \sigma_{3} ambos horizontais (ortogonais entre si) e \sigma_{2} vertical; as rupturas tendem a ser praticamente verticais.
(b) Pela geometria do círculo de Mohr e o critério de Mohr–Coulomb obtém-se \theta=45^\circ-\dfrac{\varphi}{2}. Com \mu=0,6 temos \varphi=\arctan(0,6)\approx30,96^\circ e \theta\approx29,5^\circ\approx30^\circ. Se \sigma_{1} é horizontal (falha inversa) o mergulho da falha é \approx\theta\approx30^\circ; se \sigma_{1} é vertical (falha normal) o mergulho é 90^\circ-\theta\approx60^\circ.

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