Questão 7 Fundamentos da Teoria de Falhamento de Anderson
A Teoria de Anderson baseia-se no critério de falha de Mohr-Coulomb e estabelece que a superfície livre da Terra é um plano de tensão principal. Sabendo que o atrito interno típico das rochas é de 0,6 , o ângulo entre a tensão principal máxima (
) e o plano de ruptura é de
.
a) Descreva a configuração dos eixos ortogonais
e
em relação à superfície da Terra para a formação de falhas Normais, Inversas e Transcorrentes.
b) Justifique por que, segundo Anderson, as falhas inversas tipicamente apresentam mergulho de
, enquanto as normais apresentam mergulho de
.
a) Descreva a configuração dos eixos ortogonais
b) Justifique por que, segundo Anderson, as falhas inversas tipicamente apresentam mergulho de
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que há no problema):
- Dados fornecidos:
- Coeficiente de atrito interno típico das rochas:
. - É mencionado que o ângulo entre a tensão principal máxima
e o plano de ruptura vale .
- Coeficiente de atrito interno típico das rochas:
- Perguntas que o enunciado faz:
- (a) Descrever a configuração dos eixos ortogonais
e em relação à superfície da Terra para a formação de falhas Normais, Inversas e Transcorrentes. - (b) Justificar por que, segundo Anderson, as falhas inversas tipicamente apresentam mergulho de
, enquanto as normais apresentam mergulho de .
- (a) Descrever a configuração dos eixos ortogonais
Passo 2
Conceitos básicos que vou usar (explicando devagar e sem pular etapas):
- Critério de resistência de Mohr–Coulomb (forma simples, sem coesão):
onde:
-
é a tensão cortante na superfície de ruptura, -
é a tensão normal nessa superfície, -
é o ângulo de atrito interno (em graus). - Relação entre coeficiente de atrito e ângulo de atrito: o coeficiente de atrito simples
é . Logo, dado podemos calcular por
Vou calcular esse
mais à frente, mas primeiro explico a regra geométrica que relaciona
ao ângulo entre
e o plano de ruptura.
Passo 3
Explicação geométrica (Mohr e a relação angular): por que aparece um ângulo fixo entre
e o plano de ruptura?
- Mapa mental rápido do círculo de Mohr:
- Cada plano real (orientado a um ângulo
em relação à direção de ) corresponde a um ponto no círculo de Mohr situado a um ângulo medido a partir do ponto que representa . - No círculo de Mohr, o eixo horizontal é
e o eixo vertical é .
- Cada plano real (orientado a um ângulo
- A falha, segundo Mohr–Coulomb sem coesão, acontece quando o ponto correspondente ao estado de tensões numa dada orientação fica sobre a reta
(a “reta de atrito”) — geometricamente essa reta passa pela origem e tangencia o círculo de Mohr no ponto de falha. - Propriedade geométrica importante: a reta de falha é tangente ao círculo; o raio até o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente. A reta tem inclinação
em relação ao eixo das abscissas no diagrama ( - ), então o raio até o ponto de tangência forma um ângulo de com a horizontal do diagrama. - O ângulo no círculo de Mohr entre o ponto que representa
(à direita do círculo) e o ponto de tangência é, portanto, . - Como o ângulo no espaço físico é metade do ângulo no círculo de Mohr (a transformação faz
), concluímos:
onde
é o ângulo entre a direção de
e o plano de ruptura (medido no espaço físico).
Observação pedagógica: esse resultado é clássico e independente das magnitudes absolutas de
e
— ele vem da geometria da tangência no círculo de Mohr.
Passo 4
Calcular numericamente o ângulo
e
usando
:
- Primeiro, o ângulo de atrito
é - Aplicando a fórmula
:
Portanto, a geometria previsível dá
, que coincide com a afirmação do enunciado.
Passo 5
Interpretação espacial para os três tipos de falha (descrever a orientação de
e
em relação à superfície da Terra):
- Regra de Anderson (resumo em palavras): a superfície livre da Terra é um plano de tensão principal (um dos eixos principais é vertical por simetria da gravidade). Assim, dependendo do tipo de campo de tensões, o eixo principal vertical pode ser
ou . - Falha Normal (extensional):
-
é vertical (é a maior compressão: peso superior comprime verticalmente) e é horizontal (menor compressão). - Logo, os eixos ortogonais ficam:
apontando vertical para baixo e em direção horizontal.
-
- Falha Inversa / Thrust (compressional):
-
é horizontal (máxima compressão horizontal), enquanto é vertical (menor compressão). - Portanto,
é um eixo horizontal e é o eixo vertical.
-
- Falha Transcorrente / Strike-slip:
- Os dois extremos
e são horizontais (um horizontal máximo, outro horizontal mínimo) e é vertical. - Assim,
e ficam ambos no plano horizontal (ortogonais entre si), e a ruptura tende a ocorrer em planos verticais (ou quase verticais), porque a direção de máximo corte entre e está num plano vertical.
- Os dois extremos
Passo 6
Ligando a fórmula angular à inclinação observada das falhas (resposta à parte b):
- Já temos
como o ângulo entre e o plano de ruptura. - Para falha inversa (thrust):
é horizontal. Então o plano de ruptura faz ângulo em relação à horizontal — isto é, o mergulho (dip) da falha medido a partir da horizontal é aproximadamente . É por isso que falhas inversas costumam ser rasas (mergulho pequeno). - Para falha normal:
é vertical. O ângulo entre a vertical ( ) e o plano de ruptura é ; portanto o plano de ruptura forma com a horizontal um ângulo de
ou seja, mergulho da falha normal típico é
.
- Para falhas transcorrentes: como
e são horizontais, o plano que separa essas direções tende a ser vertical — por isso falhas strike-slip têm mergulho perto de .
Intuição final: a diferença de mergulho entre normais e inversas vem de onde está
(vertical ou horizontal). A mesma lei de atrito (mesmo
) fixa o ângulo entre
e o plano de ruptura em
; se
é horizontal, a falha fica com mergulho
(≈30°), se
é vertical a falha fica inclinada
(≈60°).
Resposta
(a) Falha Normal:
vertical (para baixo) e
horizontal.
Falha Inversa: horizontal e
vertical.
Falha Transcorrente: e
ambos horizontais (ortogonais entre si) e
vertical; as rupturas tendem a ser praticamente verticais.
Falha Inversa:
Falha Transcorrente:
(b) Pela geometria do círculo de Mohr e o critério de Mohr–Coulomb obtém-se
. Com
temos
e
. Se
é horizontal (falha inversa) o mergulho da falha é
; se
é vertical (falha normal) o mergulho é
.