Questão 8 Estado Triaxial e Tensões Máximas Globais

Em um ponto na crosta em estado de tensão plana bidimensional ( \sigma_{z}=0 ), calculou-se que as tensões principais atuantes no plano horizontal são \sigma_{1}=84,6 \mathrm{MPa} e a tensão mínima secundária é \sigma_{2}=-54,6 \mathrm{MPa}. No entanto, no espaço 3D, a tensão vertical \sigma_{v}=0 atua como eixo intermediário.
a) Plote os três Círculos de Mohr correspondentes a este estado triaxial de tensões ( \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} ), identificando qual círculo rege a ruptura geológica.
b) Calcule o cisalhamento máximo global ( \tau_{\text {max }} ) que a rocha suporta neste estado tridimensional.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Tensões principais horizontais: \sigma_1 = 84,6\\ \text{MPa} e \sigma_{2,\text{horiz}} = -54,6\\ \text{MPa}.
  • Tensão vertical: \sigma_v = 0\\ \text{MPa}, que atua como eixo intermediário no espaço 3D.
Interpretação correta (ordenando os eixos principais em 3D):
  • Como a tensão vertical \sigma_v=0 é o eixo intermediário, os três tensores principais (ordenados por \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3) ficam:
    • \sigma_1 = 84,6\\ \text{MPa} (máxima)
    • \sigma_2 = 0\\ \text{MPa} (intermediária)
    • \sigma_3 = -54,6\\ \text{MPa} (mínima)
O enunciado pede:
a) Plotar os três Círculos de Mohr correspondentes aos pares (\sigma_1,\sigma_2), (\sigma_1,\sigma_3) e (\sigma_2,\sigma_3), e identificar qual círculo rege a ruptura geológica.
b) Calcular o cisalhamento máximo global \tau_{\text{max}} que a rocha suporta neste estado tridimensional.

Passo 2

Conceito e fórmulas essenciais para desenhar os círculos de Mohr (aula rápida):
  • Para dois valores de tensão principal \sigma_a e \sigma_b (com \sigma_a\ge\sigma_b), o círculo de Mohr no plano ( \sigma, \tau) tem:
    • Centro na abscissa \displaystyle C = \frac{\sigma_a+\sigma_b}{2}.
    • Raio \displaystyle R = \frac{\sigma_a-\sigma_b}{2}.
  • No gráfico, o eixo horizontal é a tensão normal \sigma e o eixo vertical é o cisalhamento \tau. Cada par de tensões principais forma um círculo com centro C e raio R; o ponto superior do círculo dá o valor máximo do cisalhamento para esse par (igual a R).
  • Em 3D com três tensões principais, há três círculos: entre (\sigma_1,\sigma_2), (\sigma_1,\sigma_3) e (\sigma_2,\sigma_3). O maior raio corresponde ao maior cisalhamento possível em qualquer plano do ponto (isto é, o cisalhamento máximo global).

Passo 3

Aplicando as fórmulas aos três pares (calculei os números explicitamente para facilitar o traço do gráfico):
Par (\sigma_1,\sigma_2) = (84,6,\;0):
  • Centro: C_{12} = \frac{84,6 + 0}{2} = 42,3\\ \text{MPa}.
  • Raio: R_{12} = \frac{84,6 - 0}{2} = 42,3\\ \text{MPa}.
Par (\sigma_1,\sigma_3) = (84,6,\;-54,6):
  • Centro: C_{13} = \frac{84,6 + (-54,6)}{2} = \frac{30,0}{2} = 15,0\\ \text{MPa}.
  • Raio: R_{13} = \frac{84,6 - (-54,6)}{2} = \frac{139,2}{2} = 69,6\\ \text{MPa}.
Par (\sigma_2,\sigma_3) = (0,\;-54,6):
  • Centro: C_{23} = \frac{0 + (-54,6)}{2} = -27,3\\ \text{MPa}.
  • Raio: R_{23} = \frac{0 - (-54,6)}{2} = \frac{54,6}{2} = 27,3\\ \text{MPa}.
Com esses números já se pode traçar os três círculos:
  • Círculo 1–2: centro em \sigma=42,3, raio 42,3.
  • Círculo 1–3: centro em \sigma=15,0, raio 69,6.
  • Círculo 2–3: centro em \sigma=-27,3, raio 27,3.

Passo 4

Qual círculo rege a ruptura geológica? (explicação didática)
  • Em geomecânica e usando o conceito do círculo de Mohr, a ruptura por cisalhamento costuma ocorrer quando o cisalhamento em alguma orientação atinge um valor crítico. O máximo cisalhamento disponível no estado de tensões é justamente o maior raio entre os três círculos, pois cada raio é o cisalhamento máximo possível considerando aquele par de tensões principais.
  • Dos três raios calculados: R_{12}=42,3, R_{13}=69,6, R_{23}=27,3 (todos em MPa). O maior é R_{13}=69,6\\ \text{MPa}, correspondente ao par (\sigma_1,\sigma_3)=(84,6,\,-54,6).
  • Conclusão: o círculo que rege a ruptura é o círculo formado por \sigma_1 e \sigma_3 (o maior círculo, entre 84,6\\ \text{MPa} e -54,6\\ \text{MPa}).

Passo 5

Cálculo do cisalhamento máximo global \tau_{\text{max}} (fórmula e aplicação)
  • Fórmula geral para o cisalhamento máximo global em 3D: \tau_{\text{max}}=\frac{\sigma_{\text{máx}}-\sigma_{\text{mín}}}{2}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}.áíExplicação: isto é exatamente o raio do maior círculo de Mohr (o círculo entre a maior e a menor tensão principal).
  • Substituindo os valores: \tau_{\text{max}}=\frac{84,6 - (-54,6)}{2}=\frac{139,2}{2}=69,6\\ \text{MPa}.
  • Verificação rápida: este valor coincide com R_{13} calculado no Passo 3, como esperado.

Passo 6

Como traçar rapidamente no papel (dica prática para a prova)
  • Desenhe eixos: horizontal \sigma (escalas cobrindo pelo menos de -60 a +90 MPa) e vertical \tau (simétrica, de -80 a +80 MPa).
  • Marque os pontos correspondentes às tensões principais na linha \tau=0: \sigma_3=-54,6, \sigma_2=0, \sigma_1=84,6.
  • Para cada par, desenhe um círculo com centro C e raio R conforme calculado:
    • Círculo entre -54,6 e 84,6: centro 15,0, raio 69,6 — esse será claramente o maior.
    • Círculo entre 0 e 84,6: centro 42,3, raio 42,3.
    • Círculo entre -54,6 e 0: centro -27,3, raio 27,3.
  • Identifique o maior círculo (1–3) como o que pode levar à ruptura por apresentar o maior cisalhamento máximo.
  • Dica de interpretação: o ponto superior do maior círculo (em \tau=+69,6) é onde o cisalhamento é máximo; a coordenada \sigma desse ponto dá a tensão normal nessa superfície crítica.

Resposta

Círculo que rege a ruptura: círculo entre \sigma_1 e \sigma_3 (entre 84,6\\ \text{MPa} e -54,6\\ \text{MPa}).
\tau_{\text{max}} = 69,6\\ \text{MPa}

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