Questão 8 Estado Triaxial e Tensões Máximas Globais
Em um ponto na crosta em estado de tensão plana bidimensional (
), calculou-se que as tensões principais atuantes no plano horizontal são
e a tensão mínima secundária é
. No entanto, no espaço 3D, a tensão vertical
atua como eixo intermediário.
a) Plote os três Círculos de Mohr correspondentes a este estado triaxial de tensões (
), identificando qual círculo rege a ruptura geológica.
b) Calcule o cisalhamento máximo global (
) que a rocha suporta neste estado tridimensional.
a) Plote os três Círculos de Mohr correspondentes a este estado triaxial de tensões (
b) Calcule o cisalhamento máximo global (
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Tensões principais horizontais:
e . - Tensão vertical:
, que atua como eixo intermediário no espaço 3D.
Interpretação correta (ordenando os eixos principais em 3D):
- Como a tensão vertical
é o eixo intermediário, os três tensores principais (ordenados por ) ficam: -
(máxima) -
(intermediária) -
(mínima)
-
O enunciado pede:
a) Plotar os três Círculos de Mohr correspondentes aos pares ,
e
, e identificar qual círculo rege a ruptura geológica.
b) Calcular o cisalhamento máximo global que a rocha suporta neste estado tridimensional.
a) Plotar os três Círculos de Mohr correspondentes aos pares
b) Calcular o cisalhamento máximo global
Passo 2
Conceito e fórmulas essenciais para desenhar os círculos de Mohr (aula rápida):
- Para dois valores de tensão principal
e (com ), o círculo de Mohr no plano ( , ) tem: - Centro na abscissa
. - Raio
.
- Centro na abscissa
- No gráfico, o eixo horizontal é a tensão normal
e o eixo vertical é o cisalhamento . Cada par de tensões principais forma um círculo com centro e raio ; o ponto superior do círculo dá o valor máximo do cisalhamento para esse par (igual a ). - Em 3D com três tensões principais, há três círculos: entre
, e . O maior raio corresponde ao maior cisalhamento possível em qualquer plano do ponto (isto é, o cisalhamento máximo global).
Passo 3
Aplicando as fórmulas aos três pares (calculei os números explicitamente para facilitar o traço do gráfico):
Par
:
- Centro:
- Raio:
Par
:
- Centro:
- Raio:
Par
:
- Centro:
- Raio:
Com esses números já se pode traçar os três círculos:
- Círculo 1–2: centro em
, raio . - Círculo 1–3: centro em
, raio . - Círculo 2–3: centro em
, raio .
Passo 4
Qual círculo rege a ruptura geológica? (explicação didática)
- Em geomecânica e usando o conceito do círculo de Mohr, a ruptura por cisalhamento costuma ocorrer quando o cisalhamento em alguma orientação atinge um valor crítico. O máximo cisalhamento disponível no estado de tensões é justamente o maior raio entre os três círculos, pois cada raio é o cisalhamento máximo possível considerando aquele par de tensões principais.
- Dos três raios calculados:
, , (todos em MPa). O maior é , correspondente ao par . - Conclusão: o círculo que rege a ruptura é o círculo formado por
e (o maior círculo, entre e ).
Passo 5
Cálculo do cisalhamento máximo global
(fórmula e aplicação)
- Fórmula geral para o cisalhamento máximo global em 3D:
Explicação: isto é exatamente o raio do maior círculo de Mohr (o círculo entre a maior e a menor tensão principal). - Substituindo os valores:
- Verificação rápida: este valor coincide com
calculado no Passo 3, como esperado.
Passo 6
Como traçar rapidamente no papel (dica prática para a prova)
- Desenhe eixos: horizontal
(escalas cobrindo pelo menos de a MPa) e vertical (simétrica, de a MPa). - Marque os pontos correspondentes às tensões principais na linha
: , , . - Para cada par, desenhe um círculo com centro
e raio conforme calculado: - Círculo entre
e : centro , raio — esse será claramente o maior. - Círculo entre
e : centro , raio . - Círculo entre
e : centro , raio .
- Círculo entre
- Identifique o maior círculo (1–3) como o que pode levar à ruptura por apresentar o maior cisalhamento máximo.
- Dica de interpretação: o ponto superior do maior círculo (em
) é onde o cisalhamento é máximo; a coordenada desse ponto dá a tensão normal nessa superfície crítica.
Resposta
Círculo que rege a ruptura: círculo entre
e
(entre
e
).