Questão 3

Um gás ideal monoatômico, com uma pressão inicial de 1,50 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} e um volume inicial de 0,1 \mathrm{~m}^{3}, sofre uma compressão adiabática até um volume igual a 0,05 \mathrm{~m}^{3}.
(a) Qual é a pressão final?
(b) Qual é o trabalho realizado pelo gás nesse processo?
(c) Qual é a razão entre as temperaturas final e inicial do gás? O gás é aquecido ou resfriado nesse processo de compressão?

Passo 1

O enunciado trata de um gás ideal monoatômico que sofre uma compressão adiabática de volume inicial V_{1}=0,10, m^{3} e pressão inicial P_{1}=1{,}50\times10^{5},Pa até V_{2}=0,05, m^{3}. Para resolver, vamos usar:
– A relação adiabática
P\,V^{\gamma}=\text{constante},
com \gamma = \tfrac{5}{3} para gás monoatômico.
– A expressão do trabalho realizado pelo gás em processo adiabático
W = \frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-\gamma}.
– A relação entre temperaturas
\frac{T_{2}}{T_{1}} = \Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma-1}.

Passo 2

Aplicando P_{1}V_{1}^{\gamma}=P_{2}V_{2}^{\gamma}, temos
P_{2}=P_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma} =1{,}50\times10^{5}\,\bigl(2\bigr)^{5/3}\,\text{Pa}.
Como 2^{5/3}=2^{1+2/3}=2\cdot2^{2/3}\approx2\cdot1{,}587=3{,}174,
P_{2}\approx1{,}50\times10^{5}\times3{,}174 =4{,}76\times10^{5}\,\text{Pa}.

Passo 3

O trabalho realizado pelo gás em processo adiabático é
W = \frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-\gamma} =\frac{(4{,}76\times10^{5}\times0{,}05)-(1{,}50\times10^{5}\times0{,}10)}{1-\tfrac{5}{3}}.
Calculemos o numerador: 4{,}76\times10^{5}\times0{,}05=2{,}38\times10^{4} J e 1{,}50\times10^{5}\times0{,}10=1{,}50\times10^{4} J,
logo diferença =0{,}88\times10^{4} J. Como 1-\gamma=1-\tfrac{5}{3}=-\tfrac{2}{3}, temos
W = \frac{0{,}88\times10^{4}}{-2/3} \approx -1,32\times10^{4}\,\text{J}.
O sinal negativo indica que o gás recebe trabalho (é comprimido).

Passo 4

Para a razão das temperaturas,
\frac{T_{2}}{T_{1}} =\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma-1} =2^{5/3-1}=2^{2/3}\approx1{,}587.

Passo 5

Como \tfrac{T_{2}}{T_{1}}>1, a temperatura do gás aumenta durante a compressão, ou seja, o gás é aquecido.

Resposta

(a) P_{2}\approx4{,}76\times10^{5},Pa
(b) W\approx-1,32\times10^{4},J (trabalho realizado pelo gás é -1{,}32\times10^{4},J)
(c) \dfrac{T_{2}}{T_{1}}\approx1{,}59; o gás fica aquecido.

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