Questão 5

Uma máquina que produz gelo opera em um ciclo de Carnot. Ela recebe calor da água a 0,0^{\circ} \mathrm{C} e rejeita calor para uma sala a 24,0{ }^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que 100,0 \mathrm{~kg} de água a 0,0^{\circ} \mathrm{C} sejam convertidos em gelo a 0,0^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Qual é o calor rejeitado para a sala?
(b) Qual é a energia que deve ser fornecida para a máquina?

Passo 1

O enunciado descreve uma geladeira ideal operando em ciclo de Carnot entre a fonte fria à 0,0^\circ\mathrm{C} (onde congela a água) e a fonte quente à 24,0^\circ\mathrm{C} (a sala). Precisamos (a) calcular o calor rejeitado Q_h para a sala e (b) determinar a energia (trabalho) W que deve ser fornecida à máquina. Para isso vamos usar:
  1. O calor latente de fusão da água à 0^\circ\mathrm{C},
  2. O coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador de Carnot,
  3. As relações de energia num ciclo frigorífico.

Passo 2

Calcular o calor extraído da água para congelá-la, Q_c. Para m=100{,}0\;\mathrm{kg} e L_f=3,34\times10^5\;\mathrm{J/kg}:
Q_c = m\,L_f = 100{,}0\;\mathrm{kg}\times3,34\times10^5\;\mathrm{J/kg} =3,34\times10^7\;\mathrm{J}.

Passo 3

Determinar o coeficiente de desempenho de Carnot para refrigerador:
as temperaturas em Kelvin são
T_c = 273,15\;\mathrm{K},\quad T_h = 273,15+24,0 = 297,15\;\mathrm{K}.
Então
\mathrm{COP} = \frac{Q_c}{W} = \frac{T_c}{\,T_h - T_c\,} = \frac{273,15}{297,15 - 273,15} = \frac{273,15}{24,00}\approx11,38.

Passo 4

Calcular o trabalho W necessário usando \mathrm{COP}=Q_c/W:
W = \frac{Q_c}{\mathrm{COP}} = \frac{3,34\times10^7\;\mathrm{J}}{11,38} \approx2,93\times10^6\;\mathrm{J}.

Passo 5

Calcular o calor rejeitado à sala, Q_h, pela primeira lei (ciclo frigorífico):
Q_h = Q_c + W =3,34\times10^7\;\mathrm{J} + 2,93\times10^6\;\mathrm{J} =3,63\times10^7\;\mathrm{J}.

Resposta

(a) Q_h \approx 3,63\times10^7\;\mathrm{J}
(b) W \approx 2,93\times10^6\;\mathrm{J}

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