Questão 5

Um gerador de corrente contínua com auto-excitação em derivação de 10 \mathrm{~kW}, 250 \mathrm{~V} é acionado a 1000 rpm . A resistência de armadura é 0,1 \sigma_{3} \Omega e a corrente de campo é de ( 1+0,1 \sigma_{2} ) A para a tensão e carga nominais. As perdas rotacionais são conhecidas como iguais a ( 500+10 \sigma_{1} ) W. Pede-se:
a) Explique com suas palavras a necessidade da auto-excitação em geradores de corrente contínua e como é possível magnetizar o enrolamento de campo neste caso.
b) Calcule a força eletromotriz de armadura ( E_{a} ).
c) O torque desenvolvido.
d) O rendimento.
e) A regulação de tensão, sabendo que a tensão a vazio é igual a 268 V .

Passo 1

O enunciado descreve um gerador CC em derivação de 10\\ \mathrm{kW} e 250\\ \mathrm{V}, girando a 1000\\ \mathrm{rpm}. A resistência de armadura é R_a=0,1\,\sigma_3\\ \Omega, a corrente de campo em carga nominal é
I_f = 1 + 0,1\,\sigma_2\\ \mathrm{A},
e as perdas rotacionais são
P_{\mathrm{rot}} = 500 + 10\,\sigma_1\\ \mathrm{W}.
(a) A auto‐excitação é necessária porque, ao ligar pela primeira vez, não há campo magnético residual suficiente para gerar tensão. Usando esse campo residual inicial, passa‐se corrente pelo enrolamento de campo em derivação, reforçando o fluxo magnético até a tensão de regime. Em outras palavras, o próprio gerador fornece a tensão de excitação, aumentando o fluxo até estabilizar na tensão nominal.

Passo 2

Calculamos a corrente de carga e a corrente de armadura. A potência de saída é P_{\mathrm{out}}=10\,000\\ \mathrm{W} e a tensão terminal V=250\\ \mathrm{V}, logo a corrente de carga é
I_L = \frac{P_{\mathrm{out}}}{V} = \frac{10\,000}{250} = 40\\ \mathrm{A}.
Como o campo está em derivação, a corrente de armadura é
I_a = I_L + I_f = 40 + \bigl(1 + 0,1\,\sigma_2\bigr) = 41 + 0,1\,\sigma_2\\ \mathrm{A}.

Passo 3

A força eletromotriz de armadura E_a é dada pela queda na armadura mais a tensão do terminal:
E_a = V + I_a\,R_a
Substituindo
E_a = 250 + \bigl(41 + 0,1\,\sigma_2\bigr)\cdot\bigl(0,1\,\sigma_3\bigr) = 250 + 4,1\,\sigma_3 + 0,01\,\sigma_2\,\sigma_3\quad(\mathrm{V}).

Passo 4

O torque desenvolvido T vem da potência eletromecânica desenvolvida dividida pela velocidade angular. A potência interna gerada é
P_{\mathrm{dev}} = E_a\,I_a,
e a velocidade angular vale
\omega = \frac{1000\cdot2\pi}{60}\approx104{,}72\\ \mathrm{rad/s}.
Logo
T = \frac{P_{\mathrm{dev}}}{\omega} = \frac{E_a\,(41 + 0,1\,\sigma_2)}{104{,}72}\quad(\mathrm{N\cdot m}).

Passo 5

Para o rendimento \eta consideramos perdas de cobre na armadura e perdas rotacionais (ignorando perdas de campo por falta de R_f). Assim
P_{\mathrm{cu}} = I_a^2\,R_a \quad\text{e}\quad P_{\mathrm{rot}} = 500 + 10\,\sigma_1.
O rendimento é
\eta = \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{out}} + P_{\mathrm{cu}} + P_{\mathrm{rot}}} = \frac{10\,000}{10\,000 + (41 + 0,1\,\sigma_2)^2\,(0,1\,\sigma_3) + (500 + 10\,\sigma_1)}.

Passo 6

A regulação de tensão é dada por
\mathrm{Reg}\,\% = \frac{V_{\mathrm{vazio}} - V_{\mathrm{carga}}}{V_{\mathrm{carga}}}\times100 = \frac{268 - 250}{250}\times100 \approx 7{,}2\%\,.

Resposta

a) A auto‐excitação aproveita o campo residual para iniciar uma corrente no enrolamento de campo em derivação, o que aumenta o fluxo magnético e estabiliza a tensão de saída no valor nominal.
b)
E_a = 250 + \bigl(41 + 0,1\,\sigma_2\bigr)\,(0,1\,\sigma_3) = 250 + 4,1\,\sigma_3 + 0,01\,\sigma_2\,\sigma_3\quad(\mathrm{V}).
c)
T = \frac{E_a\,(41 + 0,1\,\sigma_2)}{104{,}72}\quad(\mathrm{N\cdot m}).
d)
\eta = \frac{10\,000}{10\,000 + (41 + 0,1\,\sigma_2)^2\,(0,1\,\sigma_3) + (500 + 10\,\sigma_1)}.
e)
\mathrm{Reg}\,\% \approx 7{,}2\%.

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