Determine o valor de m para que os vetores \vec{u} e \vec{v}, sejam ortogonais.
\vec{u}=(1,-1,5) e \vec{v}=(m,-m, 1)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,-1,5) e \vec{v}=(m,-m,1)
e pede o valor de m para que sejam ortogonais. O conteúdo é produto escalar em \mathbb{R}^3 e a condição de ortogonalidade é
\vec{u}\cdot\vec{v}=0.

Passo 2

Lembrando que o produto escalar em \mathbb{R}^3 é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
temos
\vec{u}\cdot\vec{v} =1\cdot m + (-1)\cdot(-m) + 5\cdot1 =m + m +5 =2m+5.

Passo 3

Para que \vec{u} e \vec{v} sejam ortogonais, impomos
2m+5=0
e resolvemos para m.

Passo 4

Isolando m:
2m=-5 \quad\Longrightarrow\quad m=-\tfrac{5}{2}.

Resposta

m=-\tfrac{5}{2}.

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