Questão 7

Um motor em derivação com 20 \mathrm{HP}, 230 \mathrm{~V}, 1150 \mathrm{rpm}, possui a resistência do circuito de armadura igual a \left(0,1+0,01 \sigma_{1}\right) \Omega. Na velocidade nominal e saída nominal, a corrente de armadura é ( 70+\sigma_{2} ) A e a corrente de campo é ( 1+0,1 \sigma_{3} ) A. Calcule:
a) O torque eletromagnético;
b) As perdas rotacionais;
c) O rendimento;
d) A carga no eixo (torque fornecido no eixo);
e) A velocidade do motor a vazio se a corrente de linha (corrente no terminal) for 1.9 A ;
f) A regulação de velocidade para esta condição.

Passo 1

O enunciado descreve um motor CC em derivação com dados nominais:
– Potência de eixo P_{\rm out}=20\,\mathrm{HP}=20\cdot746\\ \mathrm W=14920\\ \mathrm W
– Tensão V=230\\ \mathrm V
– Velocidade n_{\rm nom}=1150\\ \mathrm{rpm}
– Resistência de armadura
R_a=0,1+0,01\,\sigma_{1}\quad(\Omega)
– Corrente de armadura nominal
I_{a,\rm nom}=70+\sigma_{2}\quad(\mathrm A)
– Corrente de campo (derivação)
I_f=1+0,1\,\sigma_{3}\quad(\mathrm A)
Precisamos calcular:
a) torque eletromagnético T_e
b) perdas rotacionais P_{\rm rot}
c) rendimento \eta
d) torque de eixo T_{\rm eixo}
e) velocidade a vazio n_{\rm nl} se a corrente de linha for 1{,}9\\ \mathrm A
f) regulação de velocidade para essa condição.

Passo 2

Determinar a constante de torque/fluxo k\varphi a partir da equação da força contraeletromotriz nominal e da velocidade:
– A FEM nominal é
E_{\rm nom}=V - I_{a,\rm nom}\,R_a =230 - (70+\sigma_2)\,(0,1+0,01\sigma_1).
– A velocidade angular nominal
\omega_{\rm nom}=\frac{2\pi\,n_{\rm nom}}{60} =\frac{2\pi\cdot1150}{60}\\ \mathrm{rad/s}.
Como E_{\rm nom}=k\varphi\,\omega_{\rm nom}, segue
k\varphi =\frac{E_{\rm nom}}{\omega_{\rm nom}} =\frac{230 - (70+\sigma_2)(0,1+0,01\sigma_1)}{\,\tfrac{2\pi\cdot1150}{60}\,}.
O torque eletromagnético é
T_e = k\varphi\;I_{a,\rm nom} = \frac{230 - (70+\sigma_2)(0,1+0,01\sigma_1)}{\tfrac{2\pi\cdot1150}{60}}\;\bigl(70+\sigma_2\bigr).

Passo 3

As perdas rotacionais (mecânicas + ventilação, etc.) são a diferença entre a potência eletromagnética gerada e a potência útil:
P_{\rm rot} = T_e\,\omega_{\rm nom} - P_{\rm out}.

Passo 4

O rendimento é a razão entre a potência de eixo e a potência de entrada, sendo a corrente de linha (em derivação)
I_{\rm lin}=I_{a,\rm nom}+I_f =(70+\sigma_2)+(1+0,1\sigma_3) =71 + \sigma_2 +0,1\sigma_3.
Logo
\eta =\frac{P_{\rm out}}{V\,I_{\rm lin}} =\frac{14920}{230\,(71+\sigma_2+0,1\sigma_3)}.

Passo 5

O torque fornecido no eixo é simplesmente
T_{\rm eixo} =\frac{P_{\rm out}}{\omega_{\rm nom}} =\frac{14920}{\tfrac{2\pi\cdot1150}{60}}.

Passo 6

Para a condição a vazio, com corrente de linha I_{\rm lin,nl}=1{,}9\\ \mathrm A:
– A corrente de armadura a vazio
I_{a,\rm nl} =I_{\rm lin,nl}-I_f =1{,}9 - (1+0,1\sigma_3) =0{,}9 - 0{,}1\,\sigma_3.
– A FEM a vazio
E_{\rm nl} =V - I_{a,\rm nl}\,R_a =230 - \bigl(0{,}9-0{,}1\sigma_3\bigr)\,(0,1+0,01\sigma_1).
– A velocidade angular a vazio
\omega_{\rm nl} =\frac{E_{\rm nl}}{k\varphi}.
– Converte-se para rpm
n_{\rm nl} =\frac{60}{2\pi}\,\omega_{\rm nl} =\frac{60}{2\pi}\;\frac{230 - (0,9-0,1\sigma_3)(0,1+0,01\sigma_1)} {\displaystyle \frac{230 - (70+\sigma_2)(0,1+0,01\sigma_1)}{\tfrac{2\pi\cdot1150}{60}}}\,.

Passo 7

A regulação de velocidade (em %) é
\text{Regulação} =\frac{n_{\rm nl} - n_{\rm nom}}{n_{\rm nom}}\times100\%.çã

Resposta

a)
T_e =\frac{230 - (70+\sigma_2)(0,1+0,01\sigma_1)}{\tfrac{2\pi\cdot1150}{60}}\;\bigl(70+\sigma_2\bigr).
b)
P_{\rm rot} =T_e\,\frac{2\pi\cdot1150}{60} - 14920.
c)
\eta =\frac{14920}{230\,(71+\sigma_2+0,1\sigma_3)}.
d)
T_{\rm eixo} =\frac{14920}{\tfrac{2\pi\cdot1150}{60}}.
e)
n_{\rm nl} =\frac{60}{2\pi}\;\frac{230 - (0,9-0,1\sigma_3)(0,1+0,01\sigma_1)} {\displaystyle \frac{230 - (70+\sigma_2)(0,1+0,01\sigma_1)}{\tfrac{2\pi\cdot1150}{60}}}.
f)
\text{Regulação}=\frac{n_{\rm nl}-1150}{1150}\times100\%.çã

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