Questão 8 - Um gerador trifásico em \Delta fornece 220 V entre linhas, com uma corrente de fase de 15 A . Determine a corrente de linha.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Dado: gerador trifásico ligado em \Delta (ligação em triângulo).
  • Dado: tensão entre linhas (tensão de linha) \,V_{L}=220\\ \text{V}.
  • Dado: corrente de fase (corrente em cada enrolamento da delta) \,I_{\text{fase}}=15\\ \text{A}.
  • Pedido: calcular a corrente de linha \,I_{L} (a corrente que sai de cada terminal de linha).

Passo 2

Entender a diferença entre corrente de fase e corrente de linha numa ligação em \Delta:
  • Em \Delta cada enrolamento (fase) está ligado entre duas linhas; portanto a corrente que circula no enrolamento é a corrente de fase \,I_{\text{fase}}.
  • A corrente de linha é a corrente que passa pela linha externa (por exemplo, a linha A): ela é a soma vetorial (fasorial) das correntes das duas fases que se encontram nessa linha.
  • Para uma carga equilibrada (mesma impedância em cada fase) os módulos das correntes de fase são iguais e as fases de corrente estão defasadas de 120^\circ entre si. Essa simetria permite obter uma relação simples entre I_{L} e I_{\text{fase}}.

Passo 3

Raciocínio vetorial para obter a relação numérica:
  • Considere duas correntes de fase de mesmo módulo I_{\text{fase}} e defasadas entre si de 120^\circ. A corrente de linha é a diferença (soma vetorial) entre essas duas correntes de fase que chegam/saem na mesma linha.
  • Sejam duas fasores de mesmo módulo I_{\text{fase}} com ângulo entre eles \,120^\circ. O módulo da soma (ou diferença) de dois vetores de mesmo comprimento a com ângulo \theta entre eles é
\sqrt{a^{2}+a^{2}-2a^{2}\cos\theta}.
  • Aqui a=I_{\text{fase}} e \theta=120^\circ. Substituindo:
I_{L}=\sqrt{I_{\text{fase}}^{2}+I_{\text{fase}}^{2}-2I_{\text{fase}}^{2}\cos(120^\circ)}.

Passo 4

Calcular usando o valor de \cos(120^\circ):
  • Sabendo que \cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}, temos
I_{L}=\sqrt{2I_{\text{fase}}^{2}-2I_{\text{fase}}^{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right)} =\sqrt{2I_{\text{fase}}^{2}+I_{\text{fase}}^{2}} =\sqrt{3\,I_{\text{fase}}^{2}} =\sqrt{3}\,I_{\text{fase}}.
  • Portanto, para ligação em \Delta (balanceada) vale a relação conhecida
I_{L}=\sqrt{3}\,I_{\text{fase}}.

Passo 5

Aplicar ao número dado:
  • Substituindo \,I_{\text{fase}}=15\\ \text{A},
I_{L}=\sqrt{3}\cdot 15\\ \text{A}.
  • Usando \sqrt{3}\approx 1{,}732,
I_{L}\approx 1{,}732\times 15 = 25{,}98\\ \text{A}.
  • Arredondando adequadamente para duas casas significativas: 25{,}98\\ \text{A}\approx 26{,}0\\ \text{A}.

Passo 6

Dica rápida para a prova (memorização e verificação):
  • Regra de bolso: para ligação em estrela ( Y) tem I_{L}=I_{\text{fase}} e V_{L}=\sqrt{3}\,V_{\text{fase}}.
  • Para ligação em delta ( \Delta) tem V_{L}=V_{\text{fase}} e I_{L}=\sqrt{3}\,I_{\text{fase}}.
  • Se lembrar dessas duas relações evita cálculos desnecessários na hora.

Resposta

I_{L}=26{,}0\\ \text{A}

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