Questão 4.

Na haste de combustível de reator nuclear é gerado calor de forma uniforme. Ela tem forma de um longo cilindro oco, com suas superfícies interna e externa respectivamente nas temperaturas Ti e To.
Dados: ri=5 cm, r 0=10 cm, Ti=40^circ C, To=60^circ C, k=100 W / m K eqg=2000 kW / m^3.
a) Derive uma expressão para a distribuição de temperatura.
b) Qual a temperatura máxima? Qual a posição onde a temperatura é máxima?

Passo 1

O enunciado pede para uma haste cilíndrica oca, com geração de calor volumétrica uniforme, nas bordas internas e externas temos T(ri)=Ti e T(ro)=To.
Conteúdo: condução de calor unidimensional em coordenadas cilíndricas com geração interna.
O que precisamos:
  • A equação diferencial da condução radial com geração.
  • Resolver a ED, aplicar as BCs para achar as constantes de integração.
  • Determinar onde a temperatura é máxima (pela derivada).

Passo 2

A equação de equilíbrio térmico em coordenadas cilíndricas (regime permanente, sem variação axial ou angular) e com geração dot qg é:
1r,ddr!l(r,dTdrr);+;dot qgk;=;0
Aqui k é a condutividade e dot qg a geração volumétrica.

Passo 3

Multiplicamos por r e integramos uma vez:
ddr!l(r,dTdrr)=-dot qg,rk ;Longrightarrow; r,dTdr = -integraldot qg,rk,dr + C1 = -dot qg,r^22k+C1
Agora dividimos por r e integramos de novo:
dTdr=-dot qg,r2k+C1r ;Longrightarrow; T(r) =-integraldot qg,r2k,dr + C1integral1rdr + C2 =-dot qg,r^24k+C1ln r +C2

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno T(ri)=Ti e T(ro)=To:
  1. Ti=-dot qg,ri^24k+C1ln ri +C2
  2. To=-dot qg,ro^24k+C1ln ro +C2
Subtraindo (2)-(1):
To-Ti =-dot qg,(ro^2-ri^2)4k + C1lnrori
Logo
C1 =,To-Ti + dot qg4k(ro^2-ri^2),ln(ro/ri)
E então
C2 = Ti + dot qg,ri^24k ;-; C1,ln ri

Passo 5

Substituindo os dados numéricos ( ri=0.05,m, ro=0.10,m, Ti=40^circC, To=60^circC, k=100,W/mK, dot qg=2,000,kW/m³ =2times10^6,W/m³) obtemos numericamente
C1approx83.0, C2approx301.1
Logo a distribuição de temperatura fica
boxed T(r) =-dot qg4k,r^2 ;+;C1ln r ;+;C2 ;approx; -5000,r^2 ;+;83.0,ln r ;+;301.1

Passo 6

Para achar o máximo, fazemos dTdr=0:
-dot qg,r2k+C1r=0 ;Longrightarrow; rmax=raiz2k,C1dot qg approxraiz2cdot100cdot83.02times10^6 approx0.0911;m

Passo 7

Substituindo rmax na expressão de T(r):
Tmax=T(rmax)approx60.7^circC

Resposta

Distribuição de temperatura:
T(r)=-dot qg,r^24k+C1ln r+C2com C1approx83.0,;C2approx301.1
Temperatura máxima Tmaxapprox60.7^circC, ocorrendo em rmaxapprox0.0911,m.

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