Questão I10) Deseja-se estimar o intervalo de confiança da proporção de um experimento. Considere que há um incremento de 20 \% do custo de coleta de dados a cada retorno a campo. Indique como a pesquisa deveria ser realizada em campo de forma a minimizar o uso dos recursos financeiros, garantindo um nível de confiança de 90 \%.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá (lista clara).
  • Pede: indicar como realizar a pesquisa em campo para estimar um intervalo de confiança para uma proporção, minimizando o uso de recursos financeiros e garantindo nível de confiança de 90%.
  • Informação dada: “há um incremento de 20% do custo de coleta de dados a cada retorno a campo”.
  • Informação que não está no enunciado e que eu preciso assumir para poder dar uma recomendação prática:
    • Não foi especificada a margem de erro desejada E da estimativa (por exemplo E=0{,}05 para 5%). Vou apresentar a fórmula geral e exemplos numéricos para valores típicos de E.
    • Não foi detalhada a estrutura exata dos custos (se existe custo fixo por saída a campo C_0, custo por observação c_s, etc.). Vou assumir um modelo simples e explícito que é razoável na prática e que permite mostrar a lógica de minimização de custo:
      • cada saída a campo tem um custo fixo inicial C_0;
      • o custo da k-ésima saída é C_0\cdot(1{,}2)^{\,k-1} (cresce 20% a cada retorno);
      • o custo por unidade amostral c_s é (para simplificar) aproximadamente constante entre saídas.
  • Objetivo operacional: determinar o tamanho amostral n necessário para o intervalo de confiança com 90% e recomendar a maneira de coletar essas n observações em campo para minimizar custo, sob as hipóteses acima.

Passo 2

Conceito e fórmula do intervalo de confiança para proporção (aula rápida e intuitiva).
  • Se \hat p é a proporção amostral estimada (número de sucessos dividido por n), um intervalo de confiança aproximado para a proporção verdadeira p com nível de confiança 1-\alpha é
\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Explicando os termos:
  • \hat p é a estimativa pontual da proporção (por exemplo, 0{,}4 se 40% das observações forem “sucesso”).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal padrão que deixa \alpha/2 de área na cauda superior. Por exemplo, para 90% de confiança, \alpha=0{,}10 e z_{\alpha/2}=z_{0{,}05}.
  • \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro padrão de \hat p; ele mede a variabilidade da proporção amostral. O produto z_{\alpha/2} vezes esse erro padrão é a meia‑largura do intervalo (o “erro tolerado” pela confiança escolhida).
  • A meia‑largura do intervalo é comumente chamada de margem de erro E. Assim,
E = z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}},
onde, para projetar a amostra antes da coleta, substitui-se p por uma previsão ou por um valor conservador.

Passo 3

Derivando a fórmula do tamanho amostral para proporção (passo a passo).
  • A partir de E = z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}, isolamos n:
n = \dfrac{z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}{E^2}.
  • Significado prático:
    • z_{\alpha/2} define o nível de confiança (quanto maior z, maior n para o mesmo E).
    • p(1-p) é a variância binomial por observação; ela depende de p. Se p for desconhecido, o valor que maximiza p(1-p) é p=0{,}5 (pois 0{,}5(1-0{,}5)=0{,}25 é o máximo). Usar p=0{,}5 é conservador: garante que o n calculado seja suficiente independentemente do p real.
    • E é a margem de erro desejada (decisão do pesquisador: quanto erro tolerável).

Passo 4

Valor de z para 90% de confiança e justificativa.
  • Para 90% de confiança temos \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05. O quantil padrão é
z_{0{,}05}=1{,}645.
Explicação curta: z_{0{,}05} é o valor tal que P(Z>z_{0{,}05})=0{,}05 para Z\sim N(0,1). Esse número é tabelado e frequentemente usado para 90% de confiança.

Passo 5

Aplicando a fórmula com p conservador e exemplos numéricos detalhados.
  • Usando p=0{,}5 (caso conservador) e z_{0{,}05}=1{,}645, temos
n = \dfrac{1{,}645^2\cdot 0{,}5(1-0{,}5)}{E^2} = \dfrac{1{,}645^2\cdot 0{,}25}{E^2}.
  • Calculemos 1{,}645^2 para mostrar as contas:
1{,}645^2 = 2{,}706025 \quad(\text{aproximadamente }2{,}706).
Assim o numerador vale 2{,}706025\cdot 0{,}25 = 0{,}67650625.
  • Agora exemplos práticos:
    1. Para E=0{,}05 (5% de margem de erro):
    n=\dfrac{0{,}67650625}{0{,}05^2}=\dfrac{0{,}67650625}{0{,}0025}=270{,}6025\Rightarrow n\approx271.
    1. Para E=0{,}03 (3%):
    n=\dfrac{0{,}67650625}{0{,}03^2}=\dfrac{0{,}67650625}{0{,}0009}=751{,}6736\Rightarrow n\approx752.
    1. Para E=0{,}10 (10%):
    n=\dfrac{0{,}67650625}{0{,}10^2}=\dfrac{0{,}67650625}{0{,}01}=67{,}650625\Rightarrow n\approx68.
  • Observação prática: escolha de E é um trade‑off custo‑precisão. Menor E exige muito mais observações (e, portanto, custo maior).

Passo 6

Modelo de custos com incremento de 20% por retorno e argumentação matemática de minimização.
  • Vamos formalizar o modelo de custos assumido:
    • custo fixo da primeira saída a campo: C_0;
    • custo fixo da k-ésima saída: C_0\cdot(1{,}2)^{\,k-1} (crescimento de 20% a cada retorno);
    • custo por observação c_s (assumido aproximadamente constante).
  • Se a amostra total requerida é n e for coletada em m saídas com n_1,n_2,\dots,n_m observações (sendo \sum_{k=1}^m n_k=n), o custo total aproximado é
\text{Custo total}=\sum_{k=1}^m C_0\,(1{,}2)^{\,k-1} \;+\; c_s\cdot n.
Observações sobre esta expressão:
  • o termo c_s\cdot n não depende de como se divide n entre saídas (assumindo custo por unidade constante).
  • o primeiro somatório cresce estritamente quando m aumenta (é soma de mais termos positivos e cada termo adicional é maior que o anterior porque decola com fator 1{,}2). Logo, para um n fixo, minimizar o custo total exige minimizar m.
  • Conclusão matemática imediata: a forma de menor custo, sob este modelo razoável, é realizar apenas uma saída a campo ( m=1) e coletar ali as n observações necessárias. Qualquer divisão em mais saídas adiciona pelo menos um termo extra C_0(1{,}2)^{\,k-1} e, portanto, aumenta o custo total.
  • Se houver restrições logísticas que impossibilitem coletar tudo em uma saída (por exemplo, limite de pessoas, tempo, amostragem por época), a estratégia de custo mínimo compatível com tais restrições é sempre alocar o máximo possível das observações nas primeiras saídas (as mais baratas) e deixar apenas o necessário para saídas posteriores.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo de economia ao evitar retornos (para fixar a intuição).
  • Suponha, apenas para ilustrar, C_0=1000 (custo da primeira saída), c_s=1 (por observação), e que o pesquisador escolheu E=0{,}05\Rightarrow n\approx271 (veja passo 5).
    • Se fizer tudo em uma saída:
    \text{Custo}_1 = C_0 + c_s\cdot n = 1000 + 1\cdot271 = 1\,271.
    • Se dividir em duas saídas (metade em cada, simplificando n_1=n_2=135,136):
    \text{Custo}_2 = C_0 + C_0\cdot1{,}2 + c_s\cdot n = 1000 + 1200 + 271 = 2\,471,que é muito maior que 1\,271. (Isso mostra o efeito forte do termo fixo por saída quando há incremento de 20% por retorno.)
  • Lições práticas: o custo fixo por saída e o incremento por retorno fazem com que retornos multipliquem o custo; portanto evitar retornos é prioritário.

Passo 8

Recomendações práticas detalhadas (o “como” em campo) e sugestões para reduzir risco operacional.
  • Planejar para coletar todas as n observações calculadas com a fórmula do Passo 5 em uma única saída a campo, sempre que for logisticamente possível. Isso minimiza o somatório de custos fixos que aumentam 20% a cada retorno.
  • Antes da saída definitiva:
    • realizar um piloto pequeno (p.ex. 30 50 observações) para checar logística e ter uma estimativa preliminar de p. Se do piloto obtiver \hat p bem distante de 0{,}5, pode usar esse \hat p para recalcular n e possivelmente reduzir o total necessário.
    • preparar equipe e material para maximizar o número de observações por dia (treinar aplicação, mapear locais, obter autorizações).
    • se houver limitação operacional para coletar n num único deslocamento, priorizar a obtenção da maior parte da amostra nas primeiras saídas.
  • Alternativas que reduzem necessidade de retornos:
    • aumentar número de entrevistadores/equipa na primeira saída;
    • usar técnicas de amostragem estratificada e alocar amostra proporcionalmente (pode reduzir variância se estratos bem escolhidos e, portanto, reduzir n necessário);
    • combinar coleta presencial com métodos remotos (quando válido) para reduzir visitas presenciais.
  • Observação sobre população finita: se a população total N é pequena e conhecida, aplicar correção por população finita (FPC) reduz n. A FPC é
n_{\text{FPC}}=\dfrac{n_0}{1+\dfrac{n_0-1}{N}},
onde n_0 é o n calculado sem FPC. Use FPC se n_0/N não for pequeno (regra prática: quando n_0/N>0{,}05).

Passo 9

Resumo prático final e incentivo.
  • Em resumo: calcule o tamanho amostral n para 90% de confiança usando a fórmula do Passo 3, preferencialmente com p=0{,}5 se p for desconhecido; organize a logística para coletar todas as n observações em uma única saída a campo; se não for possível, colha o máximo possível nas primeiras saídas e use um piloto para reduzir incerteza sobre p. Você consegue — com um bom planejamento evita custos extras de 20% por retorno e garante a precisão desejada.

Resposta

Calcule o tamanho amostral pela fórmula n=\dfrac{z_{0{,}05}^2\,p(1-p)}{E^2}
com z_{0{,}05}=1{,}645 e, se p for desconhecido, use p=0{,}5 (valor conservador). Planeje recolher em uma única saída a campo as n observações (minimiza o somatório dos custos fixos que aumentam 20% a cada retorno). Exemplos numéricos: para E=0{,}05 obtém‑se n\approx271; para E=0{,}03 n\approx752; para E=0{,}10 n\approx68.

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