Questão I10) Deseja-se estimar o intervalo de confiança da proporção de um experimento. Considere que há um incremento de
do custo de coleta de dados a cada retorno a campo. Indique como a pesquisa deveria ser realizada em campo de forma a minimizar o uso dos recursos financeiros, garantindo um nível de confiança de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá (lista clara).
- Pede: indicar como realizar a pesquisa em campo para estimar um intervalo de confiança para uma proporção, minimizando o uso de recursos financeiros e garantindo nível de confiança de 90%.
- Informação dada: “há um incremento de 20% do custo de coleta de dados a cada retorno a campo”.
- Informação que não está no enunciado e que eu preciso assumir para poder dar uma recomendação prática:
- Não foi especificada a margem de erro desejada
da estimativa (por exemplo para 5%). Vou apresentar a fórmula geral e exemplos numéricos para valores típicos de . - Não foi detalhada a estrutura exata dos custos (se existe custo fixo por saída a campo
, custo por observação , etc.). Vou assumir um modelo simples e explícito que é razoável na prática e que permite mostrar a lógica de minimização de custo: - cada saída a campo tem um custo fixo inicial
; - o custo da
-ésima saída é (cresce 20% a cada retorno); - o custo por unidade amostral
é (para simplificar) aproximadamente constante entre saídas.
- cada saída a campo tem um custo fixo inicial
- Não foi especificada a margem de erro desejada
- Objetivo operacional: determinar o tamanho amostral
necessário para o intervalo de confiança com 90% e recomendar a maneira de coletar essas observações em campo para minimizar custo, sob as hipóteses acima.
Passo 2
Conceito e fórmula do intervalo de confiança para proporção (aula rápida e intuitiva).
- Se
é a proporção amostral estimada (número de sucessos dividido por ), um intervalo de confiança aproximado para a proporção verdadeira com nível de confiança é
Explicando os termos:
-
é a estimativa pontual da proporção (por exemplo, se 40% das observações forem “sucesso”). -
é o quantil da distribuição Normal padrão que deixa de área na cauda superior. Por exemplo, para 90% de confiança, e . -
é o erro padrão de ; ele mede a variabilidade da proporção amostral. O produto vezes esse erro padrão é a meia‑largura do intervalo (o “erro tolerado” pela confiança escolhida). - A meia‑largura do intervalo é comumente chamada de margem de erro
. Assim,
onde, para projetar a amostra antes da coleta, substitui-se
por uma previsão ou por um valor conservador.
Passo 3
Derivando a fórmula do tamanho amostral para proporção (passo a passo).
- A partir de
, isolamos :
- Significado prático:
-
define o nível de confiança (quanto maior , maior para o mesmo ). -
é a variância binomial por observação; ela depende de . Se for desconhecido, o valor que maximiza é (pois é o máximo). Usar é conservador: garante que o calculado seja suficiente independentemente do real. -
é a margem de erro desejada (decisão do pesquisador: quanto erro tolerável).
-
Passo 4
Valor de
para 90% de confiança e justificativa.
- Para 90% de confiança temos
e . O quantil padrão é
Explicação curta:
é o valor tal que
para
. Esse número é tabelado e frequentemente usado para 90% de confiança.
Passo 5
Aplicando a fórmula com
conservador e exemplos numéricos detalhados.
- Usando
(caso conservador) e , temos
- Calculemos
para mostrar as contas:
Assim o numerador vale
.
- Agora exemplos práticos:
- Para
(5% de margem de erro):
- Para
(3%):
- Para
(10%):
- Para
- Observação prática: escolha de
é um trade‑off custo‑precisão. Menor exige muito mais observações (e, portanto, custo maior).
Passo 6
Modelo de custos com incremento de 20% por retorno e argumentação matemática de minimização.
- Vamos formalizar o modelo de custos assumido:
- custo fixo da primeira saída a campo:
; - custo fixo da
-ésima saída: (crescimento de 20% a cada retorno); - custo por observação
(assumido aproximadamente constante).
- custo fixo da primeira saída a campo:
- Se a amostra total requerida é
e for coletada em saídas com observações (sendo ), o custo total aproximado é
Observações sobre esta expressão:
- o termo
não depende de como se divide entre saídas (assumindo custo por unidade constante). - o primeiro somatório cresce estritamente quando
aumenta (é soma de mais termos positivos e cada termo adicional é maior que o anterior porque decola com fator ). Logo, para um fixo, minimizar o custo total exige minimizar . - Conclusão matemática imediata: a forma de menor custo, sob este modelo razoável, é realizar apenas uma saída a campo (
) e coletar ali as observações necessárias. Qualquer divisão em mais saídas adiciona pelo menos um termo extra e, portanto, aumenta o custo total. - Se houver restrições logísticas que impossibilitem coletar tudo em uma saída (por exemplo, limite de pessoas, tempo, amostragem por época), a estratégia de custo mínimo compatível com tais restrições é sempre alocar o máximo possível das observações nas primeiras saídas (as mais baratas) e deixar apenas o necessário para saídas posteriores.
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo de economia ao evitar retornos (para fixar a intuição).
- Suponha, apenas para ilustrar,
(custo da primeira saída), (por observação), e que o pesquisador escolheu (veja passo 5). - Se fizer tudo em uma saída:
- Se dividir em duas saídas (metade em cada, simplificando
):
que é muito maior que . (Isso mostra o efeito forte do termo fixo por saída quando há incremento de 20% por retorno.) - Lições práticas: o custo fixo por saída e o incremento por retorno fazem com que retornos multipliquem o custo; portanto evitar retornos é prioritário.
Passo 8
Recomendações práticas detalhadas (o “como” em campo) e sugestões para reduzir risco operacional.
- Planejar para coletar todas as
observações calculadas com a fórmula do Passo 5 em uma única saída a campo, sempre que for logisticamente possível. Isso minimiza o somatório de custos fixos que aumentam 20% a cada retorno. - Antes da saída definitiva:
- realizar um piloto pequeno (p.ex.
– observações) para checar logística e ter uma estimativa preliminar de . Se do piloto obtiver bem distante de , pode usar esse para recalcular e possivelmente reduzir o total necessário. - preparar equipe e material para maximizar o número de observações por dia (treinar aplicação, mapear locais, obter autorizações).
- se houver limitação operacional para coletar
num único deslocamento, priorizar a obtenção da maior parte da amostra nas primeiras saídas.
- realizar um piloto pequeno (p.ex.
- Alternativas que reduzem necessidade de retornos:
- aumentar número de entrevistadores/equipa na primeira saída;
- usar técnicas de amostragem estratificada e alocar amostra proporcionalmente (pode reduzir variância se estratos bem escolhidos e, portanto, reduzir
necessário); - combinar coleta presencial com métodos remotos (quando válido) para reduzir visitas presenciais.
- Observação sobre população finita: se a população total
é pequena e conhecida, aplicar correção por população finita (FPC) reduz . A FPC é
onde
é o
calculado sem FPC. Use FPC se
não for pequeno (regra prática: quando
).
Passo 9
Resumo prático final e incentivo.
- Em resumo: calcule o tamanho amostral
para 90% de confiança usando a fórmula do Passo 3, preferencialmente com se for desconhecido; organize a logística para coletar todas as observações em uma única saída a campo; se não for possível, colha o máximo possível nas primeiras saídas e use um piloto para reduzir incerteza sobre . Você consegue — com um bom planejamento evita custos extras de 20% por retorno e garante a precisão desejada.
Resposta
Calcule o tamanho amostral pela fórmula
com
e, se
for desconhecido, use
(valor conservador). Planeje recolher em uma única saída a campo as
observações (minimiza o somatório dos custos fixos que aumentam 20% a cada retorno). Exemplos numéricos: para
obtém‑se
; para
; para
.