Questão I4) Dado que a expressão para o tamanho da amostra para a proporção \pi é n=\frac{z^{2} \cdot \pi \cdot(1-\pi)}{(p-\pi)^{2}}, descreva detalhadamente como maximizar n se o parâmetro \pi é desconhecido? Lembre-se: \pi é a proporção da população.
Questão I5) Deseja-se estimar a resistência média de certo tipo de peça com precisão de 2 \mathrm{~kg} \mathrm{e} 95 \% de confiança. Desconhecendo-se a variabilidade dessa resistência, romperam-se cinco peças, obtendo-se para 5 elas os seguintes valores de sua resistência (em kg): 50, 58, 52, 49, 55 . Com base no resultado obtido, determinou-se que deveriam ser rompidas mais quinze peças, a fim de se conseguir o resultado desejado. Qual sua opinião a respeito dessa conclusão?
Questão I6) Foram realizados testes sobre a força de tração em duas classes diferentes de ligas de alumínio usadas na fabricação de aviões de transporte comerciais. Pela experiência passada com o processo de fabricação de ligas e pelo procedimento de teste, se supõem conhecidos os desvios padrões das forças de tração. Os dados obtidos são apresentados na tabela abaixo:
Se \mu_{1} e \mu_{2} representam as verdadeiras forças médias de tração para as duas classes de ligas, encontre um intervalo de confiança de 90% para a diferença das médias. Interprete o resultado.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e os dados que foram fornecidos.
Questão I4:
A fórmula dada para o tamanho de amostra é n=\frac{z^{2}\cdot\pi\cdot(1-\pi)}{(p-\pi)^{2}}.
O parâmetro \pi (a proporção verdadeira da população) é desconhecido.
Pergunta: “descreva detalhadamente como maximizar n se o parâmetro \pi é desconhecido”. Ou seja, achar o valor de \pi no qual a expressão de n é máxima (para obter um tamanho de amostra conservador).
Questão I5:
Objetivo: estimar a resistência média com precisão de 2 kg e 95\% de confiança.
Foi feita uma amostra piloto de 5 peças com observações (kg): 50,\,58,\,52,\,49,\,55.
Com base nesse resultado alguém concluiu que deveriam ser rompidas mais 15 peças (ou seja, passar de 5 para 20 no total).
Pergunta: avaliar essa conclusão — isto é, calcular quantas observações adicionais seriam realmente necessárias e opinar se a decisão de +15 é razoável.
Questão I6:
Dois grupos com desvios-padrão conhecidos. Dados:
Classe 1: n_1=10,\\ \overline{x}_1=87,6,\\ \sigma_1=1{,}0.
Classe 2: n_2=12,\\ \overline{x}_2=74,5,\\ \sigma_2=1{,}5.
Quer-se um intervalo de confiança de 90\% para \mu_1-\mu_2 e interpretação do resultado.
Agora começo a resolver passo a passo cada item.
Passo 2
(Resolução detalhada da Questão I4)
Entender a expressão que depende de \pi. A parte que depende de \pi é o produto \pi(1-\pi). Para maximizar n em relação a \pi (mantendo z e o denominador fixos), basta maximizar \pi(1-\pi) no intervalo [0,1].
Estudo da função \pi(1-\pi).
Defina f(\pi)=\pi(1-\pi)=\pi-\pi^{2}. Esta é uma parábola concava para baixo (coeficiente de \pi^2 é -1).
Derivada: f'(\pi)=1-2\pi.
Zerar a derivada para achar extremos: 1-2\pi=0\Rightarrow \pi=\tfrac{1}{2}.
Segunda derivada: f''(\pi)=-2<0, logo \pi=\tfrac{1}{2} é um máximo local — e como a função é concava para baixo no intervalo [0,1], é o máximo global.
Valor máximo de \pi(1-\pi): \pi(1-\pi)\Big|_{\pi=1/2}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}.
Passo 3
(Continuação I4 — consequência prática e fórmula final)
Substituindo o valor que maximiza no numerador obtém-se o tamanho de amostra conservador máximo:
onde escrevi E=|p-\pi| como o erro máximo tolerável (margem de erro). Essa é a forma padrão: usar \pi=\tfrac{1}{2} é a escolha conservadora que maximiza a variância \pi(1-\pi).
Observações práticas:
Se houver um palpite fundamentado ou estimativa anterior de \pi, pode-se usar esse valor e possivelmente obter n menor (economia de amostras). Mas, se não há informação, escolher \pi=\tfrac{1}{2} garante que o n calculado é suficiente independentemente do verdadeiro \pi.
Sempre arredondar n para cima para garantir a precisão desejada.
Passo 4
(Resolução detalhada da Questão I5 — calcular estatísticas piloto)
Dados piloto: 50,\,58,\,52,\,49,\,55. Calcular a média amostral \overline{x} e o desvio padrão amostral s (estimador de \sigma).
(Questão I5 — determinar tamanho de amostra necessário com \sigma desconhecida)
Para construir um intervalo de confiança para a média com \sigma desconhecida usa-se a distribuição t. A margem de erro desejada é E=2 kg para \,95\% de confiança, então idealmente:
E = t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, e s é a estimativa da amostra piloto.
Observação: essa equação é implícita em n porque o quantil t depende de n. A prática comum é usar um método iterativo:
primeiro aproximar t por z (isto é, usar z_{0{,}975}=1{,}96) para obter um palpite inicial n_0,
em seguida calcular t com df=n_0-1 e recalcular n até convergência.
Verificação rápida: com n=16 temos df=15, t_{0{,}975,15}\approx 2{,}131. Repetir o cálculo daria um n muito próximo de 16 (convergência atingida). Portanto o tamanho de amostra necessário para garantir E=2 kg com 95\% de confiança, baseado no s piloto, é aproximadamente n\approx16.
Consequência prática: já existem 5 observações; o número adicional necessário é 16-5=11 peças.
Avaliação da conclusão “romperam-se mais 15 peças” (ou seja, total 20):
A recomendação de +15 (total 20) é mais conservadora do que o necessário (mais do que os 11 adicionais que o cálculo iterativo indica). Não é incorreta do ponto de vista de segurança (mais dados só melhora a estimativa), mas é desnecessariamente dispendiosa se o objetivo era apenas atingir a precisão desejada com economia.
Se alguém usou a aproximação com z e arredondamentos grosseiros, poderia ter achado números próximos (por exemplo, z-approx deu total ~14). Mas o cálculo com t (correto para amostras pequenas) indica ~16 no total.
Conclusão prática: a decisão de +15 é excessivamente conservadora; +11 é suficiente com os dados atuais. Se houver aversão a risco ou custos baixos, aceitar +15 é defensável; caso contrário, pode-se pedir +11.
Passo 7
(Resolução detalhada da Questão I6 — intervalo de confiança para \mu_1-\mu_2 com variâncias conhecidas)
Quando os desvios-padrão populacionais \sigma_1 e \sigma_2 são conhecidos, o intervalo de confiança para a diferença de médias \mu_1-\mu_2 é dado por
\text{Limite superior }=13{,}1+0{,}8827\approx 13{,}9827.
Interpretação em linguagem simples:
Com 90\% de confiança, a diferença verdadeira \mu_1-\mu_2 está entre aproximadamente 12{,}22 e 13{,}98 (unidades de força: \mathrm{kg}/\mathrm{mm}^2).
O intervalo é totalmente positivo e bastante afastado de zero, o que indica evidência forte de que a média da classe 1 é maior que a da classe 2 (isto é, a classe 1 apresenta maior força média de tração).
Resposta
I4: Maximiza-se n escolhendo \pi=\tfrac{1}{2}, pois \pi(1-\pi) atinge seu máximo em \tfrac{1}{2}. Assim o tamanho de amostra conservador é n_{\max}=\frac{z^{2}}{4E^{2}},
onde E é a margem de erro desejada.
I5: A média amostral é \overline{x}=52{,}8 e o desvio amostral s\approx 3{,}700. Usando método iterativo com t para 95\% de confiança obtém-se n\approx 16 no total, logo precisam-se de aproximadamente 11 observações adicionais. Conclusão: a recomendação de romper mais 15 peças (total 20) é excessivamente conservadora (aceitável em termos de segurança, mas desnecessária se se deseja apenas a precisão especificada).
I6: Um intervalo de 90\% para \mu_1-\mu_2 é aproximadamente (12{,}22,\;13{,}98). Interpretação: com 90\% de confiança, a média da classe 1 é entre 12{,}22 e 13{,}98 unidades maior que a da classe 2, indicando que a classe 1 tem força média significativamente maior.