Questão I4) Dado que a expressão para o tamanho da amostra para a proporção \pi é n=\frac{z^{2} \cdot \pi \cdot(1-\pi)}{(p-\pi)^{2}}, descreva detalhadamente como maximizar n se o parâmetro \pi é desconhecido? Lembre-se: \pi é a proporção da população.
Questão I5) Deseja-se estimar a resistência média de certo tipo de peça com precisão de 2 \mathrm{~kg} \mathrm{e} 95 \% de confiança. Desconhecendo-se a variabilidade dessa resistência, romperam-se cinco peças, obtendo-se para 5 elas os seguintes valores de sua resistência (em kg): 50, 58, 52, 49, 55 . Com base no resultado obtido, determinou-se que deveriam ser rompidas mais quinze peças, a fim de se conseguir o resultado desejado. Qual sua opinião a respeito dessa conclusão?
Questão I6) Foram realizados testes sobre a força de tração em duas classes diferentes de ligas de alumínio usadas na fabricação de aviões de transporte comerciais. Pela experiência passada com o processo de fabricação de ligas e pelo procedimento de teste, se supõem conhecidos os desvios padrões das forças de tração. Os dados obtidos são apresentados na tabela abaixo:
Classe de liga Tamanho da amostra
Força de tração amostral
média \left(\mathrm{kg} / \mathrm{mm}^{2}\right)
Desvio padrão \left(\mathrm{kg} / \mathrm{mm}^{2}\right)
1 10 87,6 1,0
2 12 74,5 1,5
Se \mu_{1} e \mu_{2} representam as verdadeiras forças médias de tração para as duas classes de ligas, encontre um intervalo de confiança de 90% para a diferença das médias. Interprete o resultado.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e os dados que foram fornecidos.
  • Questão I4:
    • A fórmula dada para o tamanho de amostra é n=\frac{z^{2}\cdot\pi\cdot(1-\pi)}{(p-\pi)^{2}}.
    • O parâmetro \pi (a proporção verdadeira da população) é desconhecido.
    • Pergunta: “descreva detalhadamente como maximizar n se o parâmetro \pi é desconhecido”. Ou seja, achar o valor de \pi no qual a expressão de n é máxima (para obter um tamanho de amostra conservador).
  • Questão I5:
    • Objetivo: estimar a resistência média com precisão de 2 kg e 95\% de confiança.
    • Foi feita uma amostra piloto de 5 peças com observações (kg): 50,\,58,\,52,\,49,\,55.
    • Com base nesse resultado alguém concluiu que deveriam ser rompidas mais 15 peças (ou seja, passar de 5 para 20 no total).
    • Pergunta: avaliar essa conclusão — isto é, calcular quantas observações adicionais seriam realmente necessárias e opinar se a decisão de +15 é razoável.
  • Questão I6:
    • Dois grupos com desvios-padrão conhecidos. Dados:
      • Classe 1: n_1=10,\\ \overline{x}_1=87,6,\\ \sigma_1=1{,}0.
      • Classe 2: n_2=12,\\ \overline{x}_2=74,5,\\ \sigma_2=1{,}5.
    • Quer-se um intervalo de confiança de 90\% para \mu_1-\mu_2 e interpretação do resultado.
Agora começo a resolver passo a passo cada item.

Passo 2

(Resolução detalhada da Questão I4)
  1. Entender a expressão que depende de \pi. A parte que depende de \pi é o produto \pi(1-\pi). Para maximizar n em relação a \pi (mantendo z e o denominador fixos), basta maximizar \pi(1-\pi) no intervalo [0,1].
  2. Estudo da função \pi(1-\pi).
  • Defina f(\pi)=\pi(1-\pi)=\pi-\pi^{2}. Esta é uma parábola concava para baixo (coeficiente de \pi^2 é -1).
  • Derivada: f'(\pi)=1-2\pi.
  • Zerar a derivada para achar extremos: 1-2\pi=0\Rightarrow \pi=\tfrac{1}{2}.
  • Segunda derivada: f''(\pi)=-2<0, logo \pi=\tfrac{1}{2} é um máximo local — e como a função é concava para baixo no intervalo [0,1], é o máximo global.
  1. Valor máximo de \pi(1-\pi): \pi(1-\pi)\Big|_{\pi=1/2}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}.

Passo 3

(Continuação I4 — consequência prática e fórmula final)
  1. Substituindo o valor que maximiza no numerador obtém-se o tamanho de amostra conservador máximo:
n_{\max}=\frac{z^{2}\cdot\frac{1}{4}}{E^{2}}=\frac{z^{2}}{4E^{2}},
onde escrevi E=|p-\pi| como o erro máximo tolerável (margem de erro). Essa é a forma padrão: usar \pi=\tfrac{1}{2} é a escolha conservadora que maximiza a variância \pi(1-\pi).
  1. Observações práticas:
  • Se houver um palpite fundamentado ou estimativa anterior de \pi, pode-se usar esse valor e possivelmente obter n menor (economia de amostras). Mas, se não há informação, escolher \pi=\tfrac{1}{2} garante que o n calculado é suficiente independentemente do verdadeiro \pi.
  • Sempre arredondar n para cima para garantir a precisão desejada.

Passo 4

(Resolução detalhada da Questão I5 — calcular estatísticas piloto)
  1. Dados piloto: 50,\,58,\,52,\,49,\,55. Calcular a média amostral \overline{x} e o desvio padrão amostral s (estimador de \sigma).
  2. Soma e média:
\text{soma} = 50+58+52+49+55 = 264,
\overline{x} = \frac{264}{5} = 52{,}8\\ \text{kg}.
  1. Desvios e quadrados (cada observação menos a média):
  • 50-52{,}8 = -2{,}8 \Rightarrow (-2{,}8)^2=7{,}84
  • 58-52{,}8 = 5{,}2 \Rightarrow 27{,}04
  • 52-52{,}8 = -0{,}8 \Rightarrow 0{,}64
  • 49-52{,}8 = -3{,}8 \Rightarrow 14{,}44
  • 55-52{,}8 = 2{,}2 \Rightarrow 4{,}84
  1. Soma dos quadrados: 7{,}84+27{,}04+0{,}64+14{,}44+4{,}84=54{,}8.
  2. Variância amostral e desvio:
s^{2}=\frac{\sum (x_i-\overline{x})^{2}}{n-1}=\frac{54{,}8}{5-1}=\frac{54{,}8}{4}=13{,}7,
s=\sqrt{13{,}7}\approx 3{,}700\\ \text{kg}.

Passo 5

(Questão I5 — determinar tamanho de amostra necessário com \sigma desconhecida)
  1. Para construir um intervalo de confiança para a média com \sigma desconhecida usa-se a distribuição t. A margem de erro desejada é E=2 kg para \,95\% de confiança, então idealmente:
E = t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, e s é a estimativa da amostra piloto.
  1. Observação: essa equação é implícita em n porque o quantil t depende de n. A prática comum é usar um método iterativo:
  • primeiro aproximar t por z (isto é, usar z_{0{,}975}=1{,}96) para obter um palpite inicial n_0,
  • em seguida calcular t com df=n_0-1 e recalcular n até convergência.
  1. Aproximação inicial usando z=1{,}96:
n_0 \approx \frac{z^{2}s^{2}}{E^{2}}=\frac{1{,}96^{2}\cdot 13{,}7}{2^{2}}.
Calcule:
1{,}96^{2}=3{,}8416,\quad 3{,}8416\cdot 13{,}7\approx 52{,}6299,\quad \frac{52{,}6299}{4}\approx 13{,}1575.
Arredondando para cima: n_0=14.

Passo 6

(Questão I5 — iteração com t e conclusão sobre +15 peças)
  1. Usando n_0=14 temos df=13. O valor crítico t_{0{,}975,13} (tabela ou calculadora) é aproximadamente 2{,}160.
  2. Recalcular n usando t=2{,}160:
n_1=\frac{t^{2}s^{2}}{E^{2}}=\frac{2{,}160^{2}\cdot 13{,}7}{4}.
Calculando:
2{,}160^{2}\approx 4{,}6656,\quad 4{,}6656\cdot 13{,}7\approx 63{,}9187,\quad \frac{63{,}9187}{4}\approx 15{,}9797.
Arredondando para cima: n_1=16.
  1. Verificação rápida: com n=16 temos df=15, t_{0{,}975,15}\approx 2{,}131. Repetir o cálculo daria um n muito próximo de 16 (convergência atingida). Portanto o tamanho de amostra necessário para garantir E=2 kg com 95\% de confiança, baseado no s piloto, é aproximadamente n\approx16.
  2. Consequência prática: já existem 5 observações; o número adicional necessário é 16-5=11 peças.
  3. Avaliação da conclusão “romperam-se mais 15 peças” (ou seja, total 20):
  • A recomendação de +15 (total 20) é mais conservadora do que o necessário (mais do que os 11 adicionais que o cálculo iterativo indica). Não é incorreta do ponto de vista de segurança (mais dados só melhora a estimativa), mas é desnecessariamente dispendiosa se o objetivo era apenas atingir a precisão desejada com economia.
  • Se alguém usou a aproximação com z e arredondamentos grosseiros, poderia ter achado números próximos (por exemplo, z-approx deu total ~14). Mas o cálculo com t (correto para amostras pequenas) indica ~16 no total.
  • Conclusão prática: a decisão de +15 é excessivamente conservadora; +11 é suficiente com os dados atuais. Se houver aversão a risco ou custos baixos, aceitar +15 é defensável; caso contrário, pode-se pedir +11.

Passo 7

(Resolução detalhada da Questão I6 — intervalo de confiança para \mu_1-\mu_2 com variâncias conhecidas)
  1. Quando os desvios-padrão populacionais \sigma_1 e \sigma_2 são conhecidos, o intervalo de confiança para a diferença de médias \mu_1-\mu_2 é dado por
(\overline{x}_1-\overline{x}_2)\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_2^{2}}{n_2}}.
Aqui z_{\alpha/2} é o quantil padrão normal correspondente ao nível de confiança; para 90\% de confiança, \alpha=0{,}10 e z_{0{,}95}=1{,}645.
  1. Calcule a diferença amostral:
\overline{x}_1-\overline{x}_2 = 87{,}6 - 74{,}5 = 13{,}1.
  1. Calcule o erro padrão (EP):
\text{EP}=\sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_2^{2}}{n_2}} =\sqrt{\frac{1{,}0^{2}}{10}+\frac{1{,}5^{2}}{12}} =\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{2{,}25}{12}}.
Calcule termos:
\frac{1}{10}=0{,}1,\qquad \frac{2{,}25}{12}=0{,}1875,\qquad 0{,}1+0{,}1875=0{,}2875.
\text{EP}=\sqrt{0{,}2875}\approx 0{,}5363.
  1. Margem de erro:
\text{ME}=z_{0{,}95}\cdot\text{EP}=1{,}645\cdot 0{,}5363\approx 0{,}8827.
  1. Intervalo de confiança:
(\overline{x}_1-\overline{x}_2)\pm\text{ME}=13{,}1\pm 0{,}8827.
Isso dá:
\text{Limite inferior }=13{,}1-0{,}8827\approx 12{,}2173,
\text{Limite superior }=13{,}1+0{,}8827\approx 13{,}9827.
  1. Interpretação em linguagem simples:
  • Com 90\% de confiança, a diferença verdadeira \mu_1-\mu_2 está entre aproximadamente 12{,}22 e 13{,}98 (unidades de força: \mathrm{kg}/\mathrm{mm}^2).
  • O intervalo é totalmente positivo e bastante afastado de zero, o que indica evidência forte de que a média da classe 1 é maior que a da classe 2 (isto é, a classe 1 apresenta maior força média de tração).

Resposta

I4: Maximiza-se n escolhendo \pi=\tfrac{1}{2}, pois \pi(1-\pi) atinge seu máximo em \tfrac{1}{2}. Assim o tamanho de amostra conservador é n_{\max}=\frac{z^{2}}{4E^{2}},
onde E é a margem de erro desejada.
I5: A média amostral é \overline{x}=52{,}8 e o desvio amostral s\approx 3{,}700. Usando método iterativo com t para 95\% de confiança obtém-se n\approx 16 no total, logo precisam-se de aproximadamente 11 observações adicionais. Conclusão: a recomendação de romper mais 15 peças (total 20) é excessivamente conservadora (aceitável em termos de segurança, mas desnecessária se se deseja apenas a precisão especificada).
I6: Um intervalo de 90\% para \mu_1-\mu_2 é aproximadamente (12{,}22,\;13{,}98). Interpretação: com 90\% de confiança, a média da classe 1 é entre 12{,}22 e 13{,}98 unidades maior que a da classe 2, indicando que a classe 1 tem força média significativamente maior.

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