Questão I11) Um grupo de 15 estudantes realizou um experimento. Eles mediram o coeficiente de expansão térmica do alumínio. Os resultados são apresentados a seguir: 22,
; 24,
. A qual nível de significância os estudantes falham em rejeitar a hipótese de que o coeficiente médio seja o mesmo do valor tabelado de
?
Passo 1
O enunciado dá uma amostra com
medidas do coeficiente de expansão térmica do alumínio (valores em
):
A hipótese tabelada (valor de referência) é
(em
).
A pergunta é: a que nível de significância os estudantes falham em rejeitar a hipótese de que o coeficiente médio é ? Ou seja, devemos realizar um teste de hipótese e determinar para quais níveis
não há evidência suficiente para rejeitar
.
A pergunta é: a que nível de significância os estudantes falham em rejeitar a hipótese de que o coeficiente médio é
Passo 2
Escolha do método e ideias principais (sem calcular ainda).
- Como a amostra é pequena (
) e o desvio-padrão da população não é conhecido, usamos o teste t de Student para uma amostra (teste t bilateral), com estatística
onde:
-
é a média amostral, -
é o desvio-padrão amostral (estimador de ), -
é o tamanho da amostra, -
os graus de liberdade são
. -
Rejeição bilateral:
contra . O p-valor será . Se o p-valor for menor ou igual a rejeita-se ; se for maior, falha-se em rejeitar .
Agora vamos calcular
,
, a estatística
e o p-valor (ou comparar com valores críticos).
Passo 3
Cálculo da média amostral
.
Somando os 15 valores (peguei todos os valores do enunciado):
Portanto
Interpretação rápida: a média amostral é
(em
), ou seja, é
unidades acima de
.
Passo 4
Cálculo do desvio-padrão amostral
(muito importante fazer devagar).
Primeiro calculei a soma dos quadrados dos valores (peguei cada
dos dados do enunciado) e obtive
Usamos a fórmula
.
Calcule
:
Agora
e portanto
Resumo numérico:
e
.
Passo 5
Cálculo da estatística
.
A fórmula é
Substituindo os números:
Logo
Os graus de liberdade são
.
Passo 6
Interpretação com tabela t / cálculo do p-valor aproximado.
-
Para um teste bilateral com
, o valor crítico para (duas caudas) é . Como o valor observado é um pouco menor que , concluímos que não temos evidência suficiente para rejeitar ao nível . -
A partir de tabelas de Student ou interpolação,
com corresponde a um p-valor bilateral aproximadamente
Isto significa que o p-valor está entre
e
: mais precisamente,
.
Interpretação prática:
- Se o nível de significância escolhido for
(5%), como , então falha-se em rejeitar . - Se o nível for
(10%), como , então rejeitar-se-ia .
Passo 7
Conclusão final e resposta direta à pergunta (ânimo: estava perto — resultado quase significativo a 5% mas não chega a tanto).
- O p-valor aproximado do teste bilateral é
. - Portanto os estudantes falham em rejeitar a hipótese de que o coeficiente médio é
ao nível de significância . Eles rejeitariam somente para níveis mais baixos de rigor (por exemplo ).
Resposta
p-valor
.
Falham em rejeitar ao nível
(rejeitariam para
).
Falham em rejeitar