Questão I11) Um grupo de 15 estudantes realizou um experimento. Eles mediram o coeficiente de expansão térmica do alumínio. Os resultados são apresentados a seguir: 22, 0 ; 25,4 ; 25,6 ; 22,7 ; 22,7 ; 25,2 ; 24,9 ; 21,2 ; 26,1; 24, 0 ; 23,5 ; 20,4 ; 21,4 ; 23,1 ; 20,4. A qual nível de significância os estudantes falham em rejeitar a hipótese de que o coeficiente médio seja o mesmo do valor tabelado de 22,2 \times 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1} ?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra com n=15 medidas do coeficiente de expansão térmica do alumínio (valores em 10^{-6}\\ \mathrm{K}^{-1}):
22,0,\;25,4,\;25,6,\;22,7,\;22,7,\;25,2,\;24,9,\;21,2,\;26,1,\;24,0,\;23,5,\;20,4,\;21,4,\;23,1,\;20,4.
A hipótese tabelada (valor de referência) é \mu_0 = 22,2 (em 10^{-6}\\ \mathrm{K}^{-1}).
A pergunta é: a que nível de significância os estudantes falham em rejeitar a hipótese de que o coeficiente médio é \mu_0? Ou seja, devemos realizar um teste de hipótese e determinar para quais níveis \alpha não há evidência suficiente para rejeitar \,H_0:\mu=\mu_0.

Passo 2

Escolha do método e ideias principais (sem calcular ainda).
  • Como a amostra é pequena ( n=15) e o desvio-padrão da população não é conhecido, usamos o teste t de Student para uma amostra (teste t bilateral), com estatística
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • s é o desvio-padrão amostral (estimador de \sigma),
  • n é o tamanho da amostra,
  • os graus de liberdade são df=n-1.
  • Rejeição bilateral: H_0:\mu=\mu_0 contra H_1:\mu\neq\mu_0. O p-valor será 2\cdot P(T_{df}>|t|). Se o p-valor for menor ou igual a \alpha rejeita-se H_0; se for maior, falha-se em rejeitar H_0.
Agora vamos calcular \bar{x}, s, a estatística t e o p-valor (ou comparar com valores críticos).

Passo 3

Cálculo da média amostral \bar{x}.
Somando os 15 valores (peguei todos os valores do enunciado):
\sum_{i=1}^{15} x_i = 348,6.
Portanto
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{15} x_i=\frac{348,6}{15}=23,24.
Interpretação rápida: a média amostral é \bar{x}=23,24 (em 10^{-6}\\ \mathrm{K}^{-1}), ou seja, é 1,04 unidades acima de \mu_0=22,2.

Passo 4

Cálculo do desvio-padrão amostral s (muito importante fazer devagar).
Primeiro calculei a soma dos quadrados dos valores (peguei cada x_i^2 dos dados do enunciado) e obtive
\sum_{i=1}^{15} x_i^2 = 8152,94.
Usamos a fórmula s^2=\dfrac{1}{n-1}\Big(\sum x_i^2 - n\bar{x}^2\Big).
Calcule n\bar{x}^2:
\bar{x}^2 = 23,24^2 = 540,0976, \qquad n\bar{x}^2 = 15\cdot540,0976 = 8101,464.
Agora
s^2=\frac{8152,94-8101,464}{14}=\frac{51,476}{14}=3,676857\dots
e portanto
s=\sqrt{3,676857\dots}\approx 1,918.
Resumo numérico: \bar{x}=23,24 e s\approx 1,918.

Passo 5

Cálculo da estatística t.
A fórmula é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
Substituindo os números:
\bar{x}-\mu_0 = 23,24-22,2 = 1,04,
s/\sqrt{n} \approx \frac{1,918}{\sqrt{15}}=\frac{1,918}{3,87298}\approx 0,495.
Logo
t \approx \frac{1,04}{0,495}\approx 2,10.
Os graus de liberdade são df=n-1=14.

Passo 6

Interpretação com tabela t / cálculo do p-valor aproximado.
  • Para um teste bilateral com df=14, o valor crítico para \alpha=0,05 (duas caudas) é t_{0,025;14}\approx 2,145. Como o valor observado t\approx 2,10 é um pouco menor que 2,145, concluímos que não temos evidência suficiente para rejeitar H_0 ao nível \alpha=0,05.
  • A partir de tabelas de Student ou interpolação, t\approx 2,10 com df=14 corresponde a um p-valor bilateral aproximadamente
\text{p-valor}\approx 0,054\\ (\text{aprox.}).
Isto significa que o p-valor está entre 0,05 e 0,10: mais precisamente, 0,05<\text{p-valor}\lesssim 0,06.
Interpretação prática:
  • Se o nível de significância escolhido for \alpha=0,05 (5%), como \text{p-valor}\approx 0,054>\,0,05, então falha-se em rejeitar H_0.
  • Se o nível for \alpha=0,10 (10%), como \text{p-valor}<0,10, então rejeitar-se-ia H_0.

Passo 7

Conclusão final e resposta direta à pergunta (ânimo: estava perto — resultado quase significativo a 5% mas não chega a tanto).
  • O p-valor aproximado do teste bilateral é \approx 0,054.
  • Portanto os estudantes falham em rejeitar a hipótese de que o coeficiente médio é \,22,2\times10^{-6}\\ \mathrm{K}^{-1} ao nível de significância \alpha=0,05. Eles rejeitariam H_0 somente para níveis mais baixos de rigor (por exemplo \alpha=0,10).

Resposta

p-valor \approx 0,054.
Falham em rejeitar H_0 ao nível \alpha=0,05 (rejeitariam para \alpha=0,10).

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