Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
Essa é uma superfície quádrupla em
. Para identificar que tipo de superfície é, vamos compará-la com as formas-padrão de superfícies quádricas.
Passo 2
Isolando
na equação de
, obtemos
Como
aparece em grau 1 e
em grau 2, estamos diante de um paraboloide elíptico que abre para valores crescentes de
.
Passo 3
Vamos analisar cortes principais para entender a forma:
-
Corte horizontal
: ou seja, elipses centradas na origem com semieixos
em e em . -
Corte no plano
: que é uma parábola no plano. -
Corte no plano
: que é uma parábola no plano.
Passo 4
Da análise dos cortes, concluímos:
- A superfície tem seções horizontais elípticas de raio crescente com
. - Nos planos coordenados, aparecem parábolas que se abrem para
. - O eixo de simetria é o eixo
, e a concavidade é voltada para cima.
No esboço, desenhe um “cone curvado” cujas fatias horizontais são elipses, mais “esticado” ao longo do eixo
(pois
faz o eixo em
ser maior para dado
).
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico dado por
que abre no sentido positivo de
, com seções horizontais elípticas e cortes verticais parabólicos.