Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}: 12 x^{2}+9 y^{2}-16 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
S:\;12x^{2}+9y^{2}-16z=0
Essa é uma superfície quádrupla em (x,y,z). Para identificar que tipo de superfície é, vamos compará-la com as formas-padrão de superfícies quádricas.

Passo 2

Isolando z na equação de S, obtemos
16z = 12x^{2}+9y^{2} \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{12x^{2}+9y^{2}}{16} = \frac{3}{4}\,x^{2} + \frac{9}{16}\,y^{2}.
Como z aparece em grau 1 e x,y em grau 2, estamos diante de um paraboloide elíptico que abre para valores crescentes de z.

Passo 3

Vamos analisar cortes principais para entender a forma:
  1. Corte horizontal z=z_{0}>0:
    12x^{2}+9y^{2}=16z_{0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{\tfrac{16}{12}z_{0}}+\frac{y^{2}}{\tfrac{16}{9}z_{0}}=1,
    ou seja, elipses centradas na origem com semieixos
    \sqrt{\tfrac{4}{3}z_{0}} em x e \sqrt{\tfrac{16}{9}z_{0}} em y.
  2. Corte no plano y=0:
    12x^{2}-16z=0 \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{3}{4}x^{2},
    que é uma parábola no plano xz.
  3. Corte no plano x=0:
    9y^{2}-16z=0 \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{9}{16}y^{2},
    que é uma parábola no plano yz.

Passo 4

Da análise dos cortes, concluímos:
  • A superfície tem seções horizontais elípticas de raio crescente com z.
  • Nos planos coordenados, aparecem parábolas que se abrem para z>0.
  • O eixo de simetria é o eixo z, e a concavidade é voltada para cima.
No esboço, desenhe um “cone curvado” cujas fatias horizontais são elipses, mais “esticado” ao longo do eixo y (pois \tfrac{9}{16}<\tfrac{3}{4} faz o eixo em y ser maior para dado z).

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico dado por
z = \frac{3}{4}x^{2} + \frac{9}{16}y^{2},
que abre no sentido positivo de z, com seções horizontais elípticas e cortes verticais parabólicos.

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