Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}: x^{2}-4 x+4 y^{2}+16 z^{2}-12=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
S: x^{2}-4x+4y^{2}+16z^{2}-12=0.
O conteúdo aqui é classificação e esboço de superfícies quadráticas (quadricas). Vamos completar quadrados, reescrever na forma canônica, identificar o tipo de superfície, achar centro e semi-eixos e, por fim, esboçar as seccionais principais para montar o desenho.

Passo 2

Complete o quadrado no termo em x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
Substituindo em S obtemos
(x-2)^{2}-4 +4y^{2}+16z^{2}-12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^{2} +4y^{2}+16z^{2} -16 = 0.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão, isolamos o termo constante:
(x-2)^{2} +4y^{2}+16z^{2} = 16.
Agora dividimos ambos os lados por 16:
\frac{(x-2)^{2}}{16} \;+\;\frac{4y^{2}}{16}\;+\;\frac{16z^{2}}{16} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-2)^{2}}{4^{2}} +\frac{y^{2}}{2^{2}} +\frac{z^{2}}{1^{2}} =1.

Passo 4

Como o somatório é igual a 1 e todos os termos têm sinal positivo, trata-se de um elipsoide. O centro é o ponto (2,0,0) e os semi-eixos são
a=4 ao longo de x,
b=2 ao longo de y e
c=1 ao longo de z.

Passo 5

Para o esboço, encontramos as interseções com os eixos coordenados (colocando duas variáveis nulas de cada vez):
Quando y=0 e z=0:
\frac{(x-2)^{2}}{16} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x-2 = \pm4
Logo x = -2 e x=6.
Quando x=2 e z=0:
\frac{y^{2}}{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm2.
Quando x=2 e y=0:
z^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad z = \pm1.

Passo 6

Traços principais (seccionais nos planos coordenados):
Plano z=0:
\frac{(x-2)^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1
é uma elipse de semi-eixos 4 e 2.
Plano y=0:
\frac{(x-2)^{2}}{16} + z^{2} = 1
é elipse de semi-eixos 4 e 1.
Plano x=2:
\frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1
é elipse de semi-eixos 2 e 1.
Essas elipses cruzam-se no centro (2,0,0) e dão a ideia do “esqueleto” do elipsoide.

Resposta

É um elipsoide centrado em (2,0,0) com semi-eixos
a=4 ao longo de x,
b=2 ao longo de y e
c=1 ao longo de z.
No esboço, marque os pontos (-2,0,0) e (6,0,0) sobre o eixo x, os pontos (2,\pm2,0) no plano z=0 e os pontos (2,0,\pm1) no eixo z. Una suavemente essas elipses para visualizar o elipsoide.

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