Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
O conteúdo aqui é classificação e esboço de superfícies quadráticas (quadricas). Vamos completar quadrados, reescrever na forma canônica, identificar o tipo de superfície, achar centro e semi-eixos e, por fim, esboçar as seccionais principais para montar o desenho.
Passo 2
Complete o quadrado no termo em
:
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Reescrevendo em forma padrão, isolamos o termo constante:
Agora dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Como o somatório é igual a
e todos os termos têm sinal positivo, trata-se de um elipsoide. O centro é o ponto
e os semi-eixos são
ao longo de
,
ao longo de
e
ao longo de
.
Passo 5
Para o esboço, encontramos as interseções com os eixos coordenados (colocando duas variáveis nulas de cada vez):
Quando
e
:
Logo
e
.
Quando
e
:
Quando
e
:
Passo 6
Traços principais (seccionais nos planos coordenados):
Plano
:
é uma elipse de semi-eixos
e
.
Plano
:
é elipse de semi-eixos
e
.
Plano
:
é elipse de semi-eixos
e
.
Essas elipses cruzam-se no centro
e dão a ideia do “esqueleto” do elipsoide.
Resposta
É um elipsoide centrado em
com semi-eixos
ao longo de
,
ao longo de
e
ao longo de
.
No esboço, marque os pontos
e
sobre o eixo
, os pontos
no plano
e os pontos
no eixo
. Una suavemente essas elipses para visualizar o elipsoide.