Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}: 4(x+4)-(y+2)^{2}+2(z-1)^{2}=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quadric
S:\;4(x+4)\;-\;(y+2)^{2}\;+\;2(z-1)^{2}\;=\;0
e pede para identificá-la (ou seja, classificar o tipo de quadric) e esboçá-la. Para isso, vamos centrar a equação em torno de um ponto-centro e comparar com as formas canônicas de paraboloides e hiperbolóides.

Passo 2

Introduzimos as translações
X = x + 4,\quad Y = y + 2,\quad Z = z - 1.
Substituindo em S temos
4\,X \;-\; Y^{2}\;+\;2\,Z^{2} \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad 4\,X = Y^{2} - 2\,Z^{2} \quad\Longrightarrow\quad X = \frac{1}{4}\,Y^{2}\;-\;\frac{1}{2}\,Z^{2}.
Essa é a forma canônica de um paraboloide em que aparecem termos quadráticos em Y e Z com sinais opostos e X de grau 1.

Passo 3

A forma
X = \frac{1}{4}\,Y^{2} \;-\;\frac{1}{2}\,Z^{2}
é exatamente o tipo padrão de paraboloide hiperbólico (ou “sela”), pois um dos quadrados (em Y) tem coeficiente positivo e o outro (em Z) tem coeficiente negativo.

Passo 4

Para orientar o esboço, analisamos vestígios em planos coordenados:
— Plano Z=0 ( z=1):
X = \frac{1}{4}\,Y^{2},
que é uma parábola abrindo para X>0.
— Plano Y=0 ( y=-2):
X = -\frac{1}{2}\,Z^{2},
que é uma parábola abrindo para X<0.
Entretanto, para planos X=\text{const} surgem hipérboles. O centro da sela fica em (x,y,z)=(-4,-2,1), as direções principais são paralelas aos eixos y e z.
O esboço é uma superfície em forma de freio de sela, aclive para um dos lados em y e declive no sentido de z, com ponto de sela em (-4,-2,1).

Resposta

A superfície S é um paraboloide hiperbólico (sela), centrado em (-4,-2,1), cuja equação canônica é
X = \frac{1}{4}\,Y^{2} \;-\;\frac{1}{2}\,Z^{2},
onde X = x+4, Y = y+2, Z = z-1.

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