Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quadric
e pede para identificá-la (ou seja, classificar o tipo de quadric) e esboçá-la. Para isso, vamos centrar a equação em torno de um ponto-centro e comparar com as formas canônicas de paraboloides e hiperbolóides.
Passo 2
Introduzimos as translações
Substituindo em
temos
Essa é a forma canônica de um paraboloide em que aparecem termos quadráticos em
e
com sinais opostos e
de grau 1.
Passo 3
A forma
é exatamente o tipo padrão de paraboloide hiperbólico (ou “sela”), pois um dos quadrados (em
) tem coeficiente positivo e o outro (em
) tem coeficiente negativo.
Passo 4
Para orientar o esboço, analisamos vestígios em planos coordenados:
— Plano (
):
— Plano
que é uma parábola abrindo para
.
— Plano (
):
— Plano
que é uma parábola abrindo para
.
Entretanto, para planos surgem hipérboles. O centro da sela fica em
, as direções principais são paralelas aos eixos
e
.
Entretanto, para planos
O esboço é uma superfície em forma de freio de sela, aclive para um dos lados em
e declive no sentido de
, com ponto de sela em
.
Resposta
A superfície
é um paraboloide hiperbólico (sela), centrado em
, cuja equação canônica é
onde
,
,
.