Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}: 4 y^{2}-9 x^{2}-36 z=0

Passo 1

O enunciado pede para reconhecer e esboçar a superfície dada por
4y^{2}-9x^{2}-36z=0.
Este é um caso de superfície quádricas (segunda-grau em x,y,z). Para classificar, vamos pôr em forma canônica e analisar as seções planas.

Passo 2

Colocamos a equação em função de z. Basta isolar z:
36z = 4y^{2}-9x^{2} \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{4y^{2}-9x^{2}}{36} = \frac{1}{9}\,y^{2}\;-\;\frac{1}{4}\,x^{2}.
Essa forma z = A\,y^{2}-B\,x^{2} (com A,B>0) é característica do paraboloide hiperbólico.

Passo 3

Para reforçar a identificação, examinamos seções por planos coordenados:
1. Plano x=0:
z = \frac{1}{9}\,y^{2},
que é uma parábola côncava “para cima” no plano (y,z).
2. Plano y=0:
z = -\frac{1}{4}\,x^{2},
que é uma parábola côncava “para baixo” no plano (x,z).
3. Plano z = z_0:
\frac{4y^{2}-9x^{2}}{36}=z_0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{9\,z_0} - \frac{x^{2}}{4\,z_0}=1,
que, para z_0>0, é hipérbole abrindo-se ao longo de y, e para z_0<0 abre-se ao longo de x.

Passo 4

Essas três observações mostram que a superfície é um paraboloide hiperbólico – a famosa “sela”. No esboço:
  • Ao longo de y as curvas são parábolas voltadas para cima.
  • Ao longo de x são parábolas voltadas para baixo.
  • Cortes horizontais ( z= constante) são hipérboles cujos eixos giram conforme o sinal de z.
Um esboço qualitativo é:
\begin{array}{c} \text{z} \\\ \uparrow \\\ \quad / \\\ \text{curvas parabólicas} \\\ \quad/ \\\ \text{ao longo de } y \\\ \quad/ \\\ \quad/ \\\ \quad/ \\\ \text{sela: cai para os lados de } x \\\ \quad/ \\\ \quad/ \\\ \leftarrow \text{ eixo } y \\\ \quad/ \\\ \quad/ \\\ \perp \\\ \quad/ \\\ \quad/ \\\ \quad/ \underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad} \to \text{ eixo } x \end{array}ó

Resposta

A superfície é um paraboloide hiperbólico (forma de sela), com equação canônica
z = \frac{1}{9}\,y^{2} - \frac{1}{4}\,x^{2}.

Exercícios relacionados