Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
Passo 1
O enunciado pede para reconhecer e esboçar a superfície dada por
Este é um caso de superfície quádricas (segunda-grau em
). Para classificar, vamos pôr em forma canônica e analisar as seções planas.
Passo 2
Colocamos a equação em função de
. Basta isolar
:
Essa forma
(com
) é característica do paraboloide hiperbólico.
Passo 3
Para reforçar a identificação, examinamos seções por planos coordenados:
. Plano
:
que é uma parábola côncava “para cima” no plano
.
. Plano
:
que é uma parábola côncava “para baixo” no plano
.
. Plano
:
que, para
, é hipérbole abrindo-se ao longo de
, e para
abre-se ao longo de
.
Passo 4
Essas três observações mostram que a superfície é um paraboloide hiperbólico – a famosa “sela”. No esboço:
- Ao longo de
as curvas são parábolas voltadas para cima. - Ao longo de
são parábolas voltadas para baixo. - Cortes horizontais (
constante) são hipérboles cujos eixos giram conforme o sinal de .
Um esboço qualitativo é:
Resposta
A superfície é um paraboloide hiperbólico (forma de sela), com equação canônica