Questão 2: Na indústria farmacêutica, um tubo de cobre ( \mathrm{k}_{\mathrm{c}}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) com diâmetro interno de 20 mm e espessura da parede de 2,5 \mathrm{~mm} é usado para o transporte de oxigênio líquido para o tanque de armazenamento. O oxigênio líquido que flui no tubo tem temperatura média de \mathrm{T}_{\text {oi }}=-200^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de transferência de calor por convecção de 120 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} . \mathrm{A} condição em torno do tubo tem temperatura ambiente de 20^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de transferência de calor combinado de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Em torno do tubo de cobre, é utilizado uma espessura de isolamento de 3,75 \mathrm{~cm} para reduzir o ganho de calor.
a) Desenhe o circuito térmico que representa a situação de transferência de calor em regime estacionário. Identifique todas resistências térmicas, nós de temperatura e sentido da taxa de transferência de calor. (Deixe na forma simbólica) (2 pontos)
b) Se a temperatura da superfície externa do isolante deve permanecer acima de 13^{\circ} \mathrm{C}, para evitar condensação do vapor d’água em sua superfície, determine o ganho de calor através de 1 metro de comprimento desse tubo. (2 pontos)
c) Determine a condutividade térmica do isolante empregado no isolamento do tubo para garantir a condição de regime estacionário descrita no problema (4 pontos)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem abaixo foi retirado do enunciado).
Dados (pegos do enunciado):
  • Condutividade do cobre: k_{c}=400\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Diâmetro interno do tubo: D_{i}=20\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura da parede do tubo (cobre): t_{c}=2{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Temperatura média do oxigênio líquido (fluido interno): T_{oi}=-200^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo interno: h_{i}=120\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Temperatura ambiente ao redor do isolante: T_\infty = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo combinado externo: h_{o}=20\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Espessura do isolante: t_{ins}=3{,}75\\ \mathrm{cm}=0{,}0375\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento considerado: L=1\\ \mathrm{m}.
Pedidos:
a) Desenhar (em forma simbólica) o circuito térmico em regime estacionário: identificar resistências térmicas, nós de temperatura e sentido da taxa de calor.
b) Supondo que a temperatura da superfície externa do isolante seja mantida em 13^\circ\mathrm{C} (para evitar condensação), determinar o ganho de calor através de 1 metro do tubo (ou seja, Q por metro).
c) Determinar a condutividade térmica k_{ins} do isolante necessária para que a situação de regime estacionário seja consistente com os dados (isto é, para que a superfície externa efetivamente esteja em 13^\circ\mathrm{C} quando tudo está em regime).

Passo 2

Montagem do circuito térmico (forma simbólica) — explicando cada resistência e nó:
  • Nós de temperatura (em ordem do fluido para o ambiente):
    • T_{oi}: temperatura média do fluido interno (dada).
    • T_{s,i}: temperatura da superfície interna do tubo de cobre (raio interno).
    • T_{s,cu\_out}: temperatura da superfície externa do tubo de cobre (raio externo do cobre, interface cobre/isolante).
    • T_{s,o} (ou T_{so}): temperatura da superfície externa do isolante (raio externo do isolante). O enunciado fixa T_{so}=13^\circ\mathrm{C} para o item (b).
    • T_\infty: temperatura do ar ambiente (dada).
  • Resistências térmicas (cada uma em série radial, por metro de tubo):
    • Resistência convectiva interna (fluido → superfície interna do tubo): R_{conv,i}=\frac{1}{h_{i}\,A_{i}}=\frac{1}{h_{i}\,2\pi r_{i} L},onde r_{i} é o raio interno do tubo e A_i=2\pi r_i L é a área lateral interna por comprimento L.
    • Resistência por condução no tubo de cobre (condução radial cilindrica, entre raios r_i e r_2): R_{cond,cu}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_i}\right)}{2\pi k_{c} L},onde r_2 é o raio externo do tubo de cobre.
    • Resistência por condução no isolante (condução radial cilindrica, entre raios r_2 e r_3): R_{cond,ins}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi k_{ins} L},onde r_3 é o raio externo do isolante e k_{ins} é a condutividade térmica do isolante (desconhecida).
    • Resistência convectiva externa (superfície do isolante → ambiente): R_{conv,o}=\frac{1}{h_{o}\,A_{o}}=\frac{1}{h_{o}\,2\pi r_{3} L}.
  • Sentido da taxa de transferência de calor: do ambiente (mais quente) para o fluido (muito mais frio). Em módulo, a mesma taxa Q atravessa todas as resistências em série. Então Q=\dfrac{T_\infty-T_{oi}}{R_{tot}} com R_{tot}=R_{conv,o}+R_{cond,ins}+R_{cond,cu}+R_{conv,i}.
(isto é a representação simbólica pedida; no Passo 3 vamos calcular os valores geométricos.)

Passo 3

Calcular os raios e áreas por metro (conversões e explicação):
  • Raio interno: r_{i}=\frac{D_i}{2}=\frac{20\\ \mathrm{mm}}{2}=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do tubo de cobre: r_{2}=r_{i}+t_{c}=0{,}01+0{,}0025=0{,}0125\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do isolante: r_{3}=r_{2}+t_{ins}=0{,}0125+0{,}0375=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Áreas laterais por metro (usar L=1\\ \mathrm{m}): A_{i}=2\pi r_{i}L=2\pi(0{,}01)(1)=0{,}0628319\\ \mathrm{m^2},
A_{o}=2\pi r_{3}L=2\pi(0{,}05)(1)=0{,}3141593\\ \mathrm{m^2}.
(Fiz as contas usando 2\pi\approx6{,}2831853.)

Passo 4

Cálculo das resistências conhecidas (numéricas) por metro:
  • Resistência convectiva interna:
    R_{conv,i}=\frac{1}{h_{i}A_{i}}=\frac{1}{120\cdot 0{,}0628319}=0{,}13263\\ \mathrm{K/W}.
  • Resistência de condução no cobre:
    R_{cond,cu}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_i}\right)}{2\pi k_{c} L} =\frac{\ln(0{,}0125/0{,}01)}{2\pi\cdot 400\cdot 1} =\frac{\ln(1{,}25)}{800\pi} \approx 8{,}88\times 10^{-5}\\ \mathrm{K/W}.
    (Muito pequena — cobre é excelente condutor.)
  • Resistência convectiva externa:
    R_{conv,o}=\frac{1}{h_{o}A_{o}}=\frac{1}{20\cdot 0{,}3141593}=0{,}15915\\ \mathrm{K/W}.
Observação: até aqui só temos R_{cond,ins} que contém k_{ins} desconhecido.

Passo 5

Parte (b) — cálculo do ganho de calor por metro quando a superfície externa do isolante está a T_{so}=13^\circ\mathrm{C}.
Raciocínio pedagógico rápido: se a superfície externa do isolante está a T_{so} e o ar ambiente está a T_\infty, a transferência de calor entre o ar e a superfície é obstaculizada pela resistência convectiva externa. A taxa de calor por metro é dada por a lei de Newton do resfriamento (convecção):
Q = h_{o}\,A_{o}\,(T_\infty - T_{so}).
Substituindo números:
Q = 20\cdot 0{,}3141593\cdot (20 - 13) =20\cdot 0{,}3141593\cdot 7 \approx 43{,}98\\ \mathrm{W}.
Portanto o ganho de calor através de 1 metro do tubo, com T_{so}=13^\circ\mathrm{C}, é aproximadamente 43{,}98\\ \mathrm{W} (podemos arredondar para 44{,}0\\ \mathrm{W}).
Comentário: note que esse Q é a mesma taxa que atravessa toda a cadeia de resistências (em regime estacionário), então podemos usar esse Q para encontrar k_{ins}.

Passo 6

Parte (c) — determinação de k_{ins}.
Estratégia: em regime estacionário, a queda total de temperatura entre T_\infty e T_{oi} é:
T_\infty - T_{oi} = Q\,(R_{conv,o}+R_{cond,ins}+R_{cond,cu}+R_{conv,i}).
Isolando R_{cond,ins}:
R_{cond,ins} = \frac{T_\infty - T_{oi}}{Q} - \bigl(R_{conv,o}+R_{cond,cu}+R_{conv,i}\bigr).
Uma vez conhecido R_{cond,ins}, a condutividade do isolante é obtida de
R_{cond,ins}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi k_{ins} L} \quad\Rightarrow\quad k_{ins}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi L R_{cond,ins}}.
Agora substituímos os valores numéricos:
  • Primeiro o delta de temperaturas:
    T_\infty - T_{oi}=20-(-200)=220\\ \mathrm{K}.
  • Usar Q calculado em (b): Q\approx 43{,}9823\\ \mathrm{W}.
  • Calcular R_{tot}=\dfrac{T_\infty-T_{oi}}{Q}:
    R_{tot}=\frac{220}{43{,}9823}\approx 5{,}0020\\ \mathrm{K/W}.
  • Subtrair as resistências conhecidas:
    R_{cond,ins}=R_{tot}-\bigl(R_{conv,o}+R_{cond,cu}+R_{conv,i}\bigr).
    Numéricamente,
    R_{cond,ins}\approx 5{,}0020 - (0{,}15915 + 0{,}0000888 + 0{,}13263) \approx 5{,}0020 - 0{,}29187 = 4{,}71014\\ \mathrm{K/W}.

Passo 7

Cálculo final de k_{ins}:
Usar \ln(r_3/r_2)=\ln(0{,}05/0{,}0125)=\ln(4)=1{,}3862944 e L=1\\ \mathrm{m}. Então
k_{ins}=\frac{1{,}3862944}{2\pi\cdot 1 \cdot 4{,}71014} =\frac{1{,}3862944}{29{,}60023} \approx 0{,}04685\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Interpretação: para que a superfície externa do isolante fique em 13^\circ\mathrm{C} quando o fluido interno está a -200^\circ\mathrm{C}, com as resistências convectivas e geometria dadas, o isolante deve ter condutividade térmica aproximada de 0{,}0469\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Isso é um valor razoável para isolantes comuns (por exemplo, certos espumas ou lã).

Resposta

(a) Nó e resistências simbólicas:
T_{oi} R_{conv,i}=\dfrac{1}{h_{i}2\pi r_{i}L} R_{cond,cu}=\dfrac{\ln(r_{2}/r_{i})}{2\pi k_{c}L} R_{cond,ins}=\dfrac{\ln(r_{3}/r_{2})}{2\pi k_{ins}L} R_{conv,o}=\dfrac{1}{h_{o}2\pi r_{3}L} T_{\infty}.
(b) Q\approx 43{,}98\\ \mathrm{W} por metro.
(c) k_{ins}\approx 0{,}0469\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.

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