Conforme a metodologia sugerida em sala de aula resolver e analisar as questões:
Em um sistema de climatização operando em ciclo padrão operando com fluido refrigerante \mathbf{R} 410a e com temperatura de condensação de 44\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e temperatura de evaporação de - 12\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Determinar o coeficiente de performance do sistema, supondo que se tratasse de um compressor alternativo, com 2 cilindros de 4 (cm) de diâmetro e 4 (cm) de curso, que opera em uma rotação de 3492 (rpm) e comentar os resultados.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar direitinho para não se perder):
  • Fluido refrigerante: R-410A.
  • Temperatura de condensação: T_c = 44\left({ }^{\circ}\mathrm{C}\right).
  • Temperatura de evaporação: T_e = -12\left({ }^{\circ}\mathrm{C}\right).
  • Compressor alternativo (hipótese do problema): 2 cilindros, diâmetro de cada cilindro D = 4\\ \mathrm{cm} e curso s = 4\\ \mathrm{cm}.
  • Rotação do compressor: n = 3492\\ \mathrm{rpm}.
O que o enunciado pede: determinar o coeficiente de performance (COP) do sistema e comentar os resultados.
Obs.: o enunciado não fornece tabelas de propriedades do R-410A nem eficiências do compressor; portanto devo (1) calcular o limite teórico (Carnot), que depende só das temperaturas, e (2) calcular a vazão volumétrica do compressor a partir da geometria (isto dá uma noção da capacidade potencial), e (3) explicar como se obtém o COP real do ciclo com propriedades do fluido e eficiências, mostrando as fórmulas e método passo a passo.

Passo 2

Conceito e fórmula do COP (limite termodinâmico):
Para um refrigerador ideal e reversível (Ciclo de Carnot operando como refrigerador) o coeficiente de desempenho é dado por
COP_{\mathrm{Carnot}}=\frac{T_L}{T_H-T_L},
onde:
  • T_L é a temperatura do reservatório frio (evaporador) em kelvin;
  • T_H é a temperatura do reservatório quente (condensador) em kelvin.
Explicação didática: esse COP_{\mathrm{Carnot}} é o máximo possível para qualquer máquina entre essas temperaturas — fornece um teto teórico. Todo ciclo real (vapor-compressão com R-410A) terá COP menor por causas como irreversibilidades, eficiência isentrópica do compressor menor que 1, perdas de carga, superaquecimento/sub-resfriamento, vazamento, etc. Mas é o primeiro número a calcular para ter referência.

Passo 3

Converter as temperaturas para kelvin (passo obrigatório ao usar a fórmula do Carnot):
T_c = 44\left({ }^{\circ}\mathrm{C}\right)=44+273{,}15=317{,}15\\ \mathrm{K},
T_e = -12\left({ }^{\circ}\mathrm{C}\right)=-12+273{,}15=261{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o COP_{\mathrm{Carnot}} com os valores em kelvin:
COP_{\mathrm{Carnot}}=\frac{T_L}{T_H-T_L}=\frac{261{,}15}{317{,}15-261{,}15}=\frac{261{,}15}{56{,}00}\approx 4{,}67.
Interpretação rápida: num limite ideal, para cada 1\\ \mathrm{kW} de trabalho de compressão poderia ser removido aproximadamente 4{,}67\\ \mathrm{kW} de calor no evaporador. Esse é o melhor que se pode esperar termodinamicamente entre essas temperaturas.

Passo 5

Explicar por que o COP real é menor e quais fatores afetam:
  • Compressor não é isentrópico: a compressão real consome mais trabalho que a compressão isentrópica ideal; introduz-se a eficiência isentrópica \eta_{s} (ex.: 0{,}7 a 0{,}85 em compressores reais).
  • Há perdas volumétricas no compressor (vazamento por válvulas, re-expansão do gás residual): define-se eficiência volumétrica \eta_v (ex.: 0{,}6 a 0{,}9).
  • Superaquecimento do vapor na saída do evaporador (aumenta trabalho de compressão por kg); sub-resfriamento no condensador altera o efeito frigorífico.
  • Perdas de pressão nas tubulações e trocadores reduzem o desempenho.
Portanto o COP real do ciclo de vapor-compressão deve ser calculado com as entalpias do refrigerante nos quatro estados do ciclo (1: saída do evaporador, 2: saída do compressor, 3: saída do condensador, 4: saída da válvula de expansão). A fórmula em termos de entalpias é:
COP=\frac{\dot Q_L}{\dot W_{comp}}=\frac{\dot m\,(h_1-h_4)}{\dot m\,(h_2-h_1)}=\frac{h_1-h_4}{h_2-h_1},
onde \dot m é a vazão mássica e h_i as entalpias específicas nos estados. Para obter h_2 é preciso conhecer h_{2s} (entalpia após compressão isentrópica) e a eficiência isentrópica \eta_s:
h_2=h_1+\frac{h_{2s}-h_1}{\eta_s}.
Tudo isso exige tabelas/propriedades termodinâmicas do R-410A nas temperaturas/pressões dadas. Sem essas tabelas não se pode dar o COP real numérico — apenas o teto teórico (Carnot) e o procedimento.

Passo 6

Calcular a deslocação volumétrica do compressor (passo a passo, do jeitinho que dá pra fazer na prova, sem pular etapas).
Fórmula do volume de um cilindro:
V_{cyl}=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2 s,
onde D é o diâmetro e s é o curso (ambos em metros). Converter os dados:
D=4\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m},\qquad s=4\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
Calcule V_{cyl}:
V_{cyl}=\pi\left(\frac{0{,}04}{2}\right)^2(0{,}04)=\pi(0{,}02)^2(0{,}04)=\pi\times 0{,}0004\times 0{,}04=\pi\times 1{,}6\times10^{-5}.
Avalie numericamente:
V_{cyl}\approx 3{,}14159\times 1{,}6\times10^{-5}=5{,}0265\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3}.
Esse é o volume deslocado por cilindro em um curso de compressão. Como temos 2 cilindros e, assumindo compressor de simples ação (cada cilindro suga/comprime uma vez por rotação):
V_{d,\;por\;rev}=2\times V_{cyl}=2\times 5{,}0265\times10^{-5}=1{,}0053\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/rev}.

Passo 7

Converter para vazão volumétrica (m^3/s e m^3/min) usando a rotação n=3492\\ \mathrm{rpm}:
\dot V = V_{d,\;por\;rev}\times n = 1{,}0053\times10^{-4}\times 3492\\ \mathrm{m^3/min}.
Calcule:
\dot V \approx 1{,}0053\times10^{-4}\times 3492 \approx 0{,}35105\\ \mathrm{m^3/min}.
Em \mathrm{m^3/s} (dividindo por 60):
\dot V \approx \frac{0{,}35105}{60}\approx 0{,}0058509\\ \mathrm{m^3/s}.
Explicação: essa é a vazão volumétrica ideal bruta (deslocamento). Para obter a vazão mássica efetiva de refrigerante é preciso multiplicar por uma eficiência volumétrica \eta_v e dividir pelo volume específico do vapor na sucção v_g (valor obtido nas tabelas do R-410A a -12\left({ }^{\circ}\mathrm{C}\right)):
\dot m=\eta_v\frac{\dot V}{v_g}.
Sem tabelas não dá para calcular \dot m numericamente com precisão.

Passo 8

Como proceder na prova (passo a passo prático) para calcular o COP real caso as tabelas/propriedades fossem fornecidas (aqui eu ensino o método concreto):
  1. Consultar nas tabelas de R-410A (ou software) as propriedades na evaporação -12\left({ }^{\circ}\mathrm{C}\right): pressão de saturação p_e, entalpia do vapor saturado h_g(T_e)=h_1 e volume específico v_g. Esses valores definem o estado 1 (saída do evaporador).
  2. Calcular a vazão mássica \dot m usando \dot m=\eta_v\dot V/v_g. (Adotar um valor para \eta_v se for necessário, por exemplo 0{,}7 0{,}85 conforme o compressor).
  3. Determinar o estado 2s (compressão isentrópica) consultando a tabela de propriedades: manter entropia s_2s=s_1 e buscar h_{2s} na pressão de descarga (pressão de condensação correspondente a 44\left({ }^{\circ}\mathrm{C}\right)).
  4. Usar a eficiência isentrópica \eta_s do compressor para calcular h_2=h_1+(h_{2s}-h_1)/\eta_s.
  5. Estado 3: vapor resfriado até condensação — usar h_3=h_f(T_c) (entalpia do líquido saturado a T_c se assumirmos condensador perfeito). Estado 4: após válvula de expansão isenthalpicamente, h_4=h_3.
  6. Calcular COP real usando \displaystyle COP=\frac{h_1-h_4}{h_2-h_1}. Se desejar potência e capacidade: \dot Q_L=\dot m(h_1-h_4) e \dot W_{comp}=\dot m(h_2-h_1).
Isso é o procedimento completo que se pede em prova — use as tabelas do R-410A para obter h e v_g.

Passo 9

Estimativa prática / comentário numérico qualitativo (sem inventar dados de tabela):
  • O COP_{\mathrm{Carnot}}\approx 4{,}67 é um teto. Um sistema real de vapor-compressão com R-410A, operação comercial típica e com perdas, costuma ter COP real significativamente menor — por exemplo na prática um sistema estacionário pode ter COP na faixa de aproximadamente 2{,}5 a 4{,}0 dependendo de projeto, super-aquecimento, sub-resfriamento e eficiências do compressor.
  • A vazão volumétrica calculada \dot V\approx 0{,}0058509\\ \mathrm{m^3/s} dá uma ideia da capacidade potencial do compressor; com uma eficiência volumétrica real (ex.: \eta_v\approx 0{,}75) e com v_g conhecido nas tabelas, você converte para \dot m e então calcula realmente \dot Q_L e \dot W e daí o COP real.
  • Conclusão prática: o número que vale realmente na prova/exame é o COP calculado com tabelas e eficiências. O COP_{\mathrm{Carnot}}=4{,}67 é útil como referência de bom desempenho (se um projeto real entregar algo perto disso, está muito bom; mas normalmente espera-se valor menor).

Passo 10

Resumo do que foi feito e o que falta para completar totalmente o problema na prática:
  • Foi calculado o COP_{\mathrm{Carnot}} (teto teórico) a partir das temperaturas fornecidas: COP_{\mathrm{Carnot}}\approx 4{,}67.
  • Foi calculada a vazão volumétrica ideal do compressor a partir da geometria e rotação: \dot V\approx 0{,}35105\\ \mathrm{m^3/min}=0{,}0058509\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Para obter o COP real do ciclo com R-410A é necessário: tabelas do R-410A (para h_1,h_{2s},h_3,h_4,v_g), e escolher eficiências \eta_v e \eta_s. Apresentei as fórmulas e o passo a passo para calcular isso na prova; com esses valores a conta é direta e feita em poucas linhas.

Resposta

COP_{\mathrm{Carnot}}\approx 4{,}67
Vazão volumétrica do compressor (deslocamento ideal): \dot V\approx 0{,}35105\\ \mathrm{m^3/min}=0{,}0058509\\ \mathrm{m^3/s}

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