Questão 1: Num dia de verão, uma parede de 10 \mathrm{~m}^{2} de área e 25 cm de espessura, está exposta a uma irradiação solar de 380 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. As temperaturas das superfícies interna e externa dessa parede foram medidas e os resultados foram \mathrm{T}_{\mathrm{s}, \mathrm{i}}=27^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{\mathrm{s}, \mathrm{e}}=44^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. A superficie externa da parede troca calor por radiação com as superfícies vizinhas a 40^{\circ} \mathrm{C} e também por convecção com o ar ambiente a 36^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente de transferência de calor por convecção de 8 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Se a emissividade e a absortividade da superfície externa são iguais a 0,8 , determine:
a) as taxas de transferência de calor perdidas por convecção e radiação na superfície externa. (3 pontos)
b) a condutividade térmica do material dessa da parede. (4 pontos)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O enunciado pede:
    a) as taxas de transferência de calor perdidas por convecção e por radiação na superfície externa da parede;
    b) a condutividade térmica do material da parede.
  • Dados fornecidos (todos extraídos do enunciado):
    • área da parede: A=10\\ \mathrm{m^{2}}.
    • espessura da parede: L=25\\ \mathrm{cm}=0{,}25\\ \mathrm{m}.
    • irradiação solar incidente: G=380\\ \mathrm{W/m^{2}}.
    • temperatura da superfície externa: T_{s,e}=44^\circ\mathrm{C}.
    • temperatura da superfície interna: T_{s,i}=27^\circ\mathrm{C}.
    • temperatura das superfícies vizinhas (para radiação): T_{\text{viz}}=40^\circ\mathrm{C}.
    • temperatura do ar ambiente (para convecção): T_{\infty}=36^\circ\mathrm{C}.
    • coeficiente de convecção: h=8\\ \mathrm{W/(m^{2}{}^\circ C)}.
    • emissividade e absortividade da superfície externa: \varepsilon=\alpha=0{,}8.
    • constante de Stefan–Boltzmann: \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
Observações importantes que vou usar sem perguntar nada:
  • A absortividade \alpha determina a fração da irradiação solar absorvida pela superfície. Como \alpha=0{,}8, parte da energia solar é absorvida.
  • A emissividade \varepsilon determina a capacidade de emissão térmica da superfície; como \varepsilon=\alpha (dado), uso \varepsilon também na lei de Stefan–Boltzmann.
  • Temperaturas na fórmula de radiação devem ser em Kelvin. Vou converter T(^{\circ}\mathrm{C}) para T(\mathrm{K}) usando T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15.

Passo 2

Cálculo da perda por convecção: explicação da fórmula e aplicação.
  • Conceito rápido: a convecção lineariza a troca de calor entre uma superfície e o fluido próximo por
q_{\text{conv}} = h\,A\,(T_{s,e}-T_{\infty}).
Aqui:
  • q_{\text{conv}} é a taxa de calor por convecção (em \mathrm{W}), positiva quando sai da superfície;
  • h é o coeficiente de transferência por convecção ( \mathrm{W/(m^{2}K)});
  • A é a área ( \mathrm{m^{2}});
  • T_{s,e} e T_{\infty} são temperaturas da superfície externa e do ar ( \mathrm{K} ou {}^\circ\mathrm{C}, desde que a diferença seja a mesma).
  • Substituindo os valores (a diferença de temperatura em {}^\circ\mathrm{C} é igual à diferença em K, então uso °C diretamente):
q_{\text{conv}} = 8\cdot 10\cdot (44-36)\\ \mathrm{W}.
q_{\text{conv}} = 8\cdot 10\cdot 8 = 640\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a superfície perde 640\\ \mathrm{W} por convecção para o ar ambiente.

Passo 3

Cálculo da perda líquida por radiação: explicação da lei de Stefan–Boltzmann e aplicação.
  • Conceito rápido: a troca de radiação entre uma superfície e o entorno (assumindo que o entorno pode ser representado por uma temperatura única T_{\text{viz}}) é dada por
q_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_{s,e}^{4}-T_{\text{viz}}^{4}),
onde as temperaturas devem estar em Kelvin. Aqui q_{\text{rad}}>0 significa saída líquida de calor da superfície por radiação.
  • Converter temperaturas para Kelvin:
T_{s,e}=44^\circ\mathrm{C}=317{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\text{viz}}=40^\circ\mathrm{C}=313{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular T_{s,e}^{4}-T_{\text{viz}}^{4}. Realizando a conta numérica (passo a passo):
T_{s,e}^{4}-T_{\text{viz}}^{4}\approx 5{,}00857613\times10^{8}\\ \mathrm{K^{4}}.
(essa diferença foi obtida calculando 317{,}15^{4}-313{,}15^{4}, mantendo precisão suficiente para o resultado final.)
  • Agora aplicar a fórmula:
q_{\text{rad}} = 0{,}8\cdot(5{,}67\times10^{-8})\cdot 10 \cdot 5{,}00857613\times10^{8}\\ \mathrm{W}.
Calcule passo a passo:
5{,}67\times10^{-8}\cdot 5{,}00857613\times10^{8}\approx 28{,}39862666,
\Rightarrow 10\\ \text{vezes isso} = 283{,}9862666,
\Rightarrow q_{\text{rad}} = 0{,}8\cdot 283{,}9862666 \approx 227{,}19\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma razoável:
q_{\text{rad}}\approx 227{,}2\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a superfície perde aproximadamente 227{,}2\\ \mathrm{W} por radiação líquida para as superfícies vizinhas à 40^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Cálculo da energia solar absorvida pela superfície externa.
  • A potência solar absorvida é dada por
q_{\text{sol}}=\alpha\,G\,A,
onde \alpha é a absortividade.
  • Substituindo:
q_{\text{sol}} = 0{,}8\cdot 380\cdot 10 = 0{,}8\cdot 3800 = 3040\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a superfície absorve 3040\\ \mathrm{W} da irradiação solar incidente.

Passo 5

Balanço de energia na superfície externa e cálculo da taxa de condução através da parede.
  • Em regime estacionário a energia absorvida pela superfície solar mais a energia conduzida da parede para a superfície devem se equilibrar com as perdas convectivas e radiativas. A convenção de sinais que uso: perdas para o ambiente são positivas. Assim, balanço na superfície externa:
\text{energia absorvida do sol} + \text{energia conduzida da parede para a superfície} = q_{\text{conv}} + q_{\text{rad}}.í
Rearranjando para obter a taxa de condução q_{\text{cond}} (da face externa para a interna, isto é, fluindo através do material):
q_{\text{cond}} = q_{\text{sol}} - (q_{\text{conv}} + q_{\text{rad}}).
  • Substituindo os valores numéricos:
q_{\text{cond}} = 3040 - (640 + 227{,}19) = 3040 - 867{,}19 \approx 2172{,}81\\ \mathrm{W}.
Arredondando convenientemente:
q_{\text{cond}}\approx 2173\\ \mathrm{W}.
Interpretação: aproximadamente 2173\\ \mathrm{W} estão sendo conduzidos através da espessura da parede (do exterior para o interior).

Passo 6

Cálculo da condutividade térmica k do material usando a lei de Fourier (condução unidimensional).
  • Para condução estacionária unidimensional em parede plana e temperatura linear entre superfícies (camada homogênea), a taxa de calor por condução é
q_{\text{cond}} = k\,A\,\frac{T_{s,e}-T_{s,i}}{L},
onde:
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\,K)});
  • A é a área ( \mathrm{m^{2}});
  • L é a espessura ( \mathrm{m});
  • T_{s,e}-T_{s,i} é a diferença de temperatura entre as superfícies ( \mathrm{K} ou {}^\circ\mathrm{C}).
  • Isolar k:
k = \frac{q_{\text{cond}}\,L}{A\,(T_{s,e}-T_{s,i})}.
  • Substituindo os valores:
k = \frac{2172{,}81\cdot 0{,}25}{10\cdot (44-27)}\\ \mathrm{\frac{W}{m\,K}}.
k = \frac{543{,}2025}{170} \approx 3{,}196\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
Arredondando com duas casas significativas coerentes com dados:
k\approx 3{,}20\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
Interpretação: a condutividade térmica do material da parede é aproximadamente 3{,}20\\ \mathrm{W/(m\,K)}.

Resposta

(a) q_{\text{conv}}=640\\ \mathrm{W}
(a) q_{\text{rad}}=227{,}2\\ \mathrm{W}
(b) k=3{,}20\\ \mathrm{W/(m\,K)}

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