Determinar a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima e os coeficientes de Coriolis (\alpha) e de Boussinesq (\beta), em condutos circulares, em que produz
(a) Escoamento laminar, cujo perfil de velocidades é dado por
v=v_{\max }\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right]
Em ambos os casos V_{\text {max }} é a velocidade no eixo do tubo, R é o raio do mesmo e y=R - ré a distancia a parede ao ponto de velocidade V

Passo 1

O enunciado pede que, para o escoamento laminar em um tubo cilíndrico com perfil
v(r)=v_{\max}\Bigl[1-(r/R)^{2}\Bigr],
a) a relação entre a velocidade média \overline v e a velocidade máxima v_{\max},
b) o coeficiente de Coriolis \alpha (correção de energia cinética) e
c) o coeficiente de Boussinesq \beta (correção de quantidade de movimento).
Para isso vamos usar integrais em coordenadas cilíndricas sobre a área A=\pi R^{2}:
\overline v=\frac1A\int_A v\,dA,\quad \alpha=\frac1{A\,\overline v^{3}}\int_A v^{3}\,dA,\quad \beta=\frac1{A\,\overline v^{2}}\int_A v^{2}\,dA.

Passo 2

Cálculo de \overline v.
Como A=\pi R^{2} e dA=2\pi r\,dr, temos
\overline v =\frac1{\pi R^{2}}\int_{0}^{R}v_{\max}\Bigl[1-(r/R)^{2}\Bigr]\;2\pi r\,dr =\frac{2v_{\max}}{R^{2}}\int_{0}^{R}\Bigl(r-\frac{r^{3}}{R^{2}}\Bigr)dr.
As integrais são
\int_{0}^{R}r\,dr=\frac{R^{2}}2,\quad \int_{0}^{R}r^{3}\,dr=\frac{R^{4}}4,
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\overline v =\frac{2v_{\max}}{R^{2}}\Bigl(\frac{R^{2}}2-\frac{R^{2}}4\Bigr) =\frac{v_{\max}}2.

Passo 3

Cálculo de \beta.
Primeiro a integral de v^{2}:
\int_{A}v^{2}\,dA =2\pi v_{\max}^{2}\int_{0}^{R}\Bigl[1-(r/R)^{2}\Bigr]^{2}r\,dr =\frac{\pi R^{2}v_{\max}^{2}}{3}.
Como \overline v^{2}=(v_{\max}/2)^{2}=v_{\max}^{2}/4, segue
\beta =\frac{1}{\overline v^{2}\,A}\int_{A}v^{2}\,dA =\frac{\pi R^{2}v_{\max}^{2}/3}{(v_{\max}^{2}/4)\,\pi R^{2}} =\frac{4}{3}.

Passo 4

Cálculo de \alpha.
Integral de v^{3}:
\int_{A}v^{3}\,dA =2\pi v_{\max}^{3}\int_{0}^{R}\Bigl[1-(r/R)^{2}\Bigr]^{3}r\,dr =\frac{\pi R^{2}v_{\max}^{3}}{4}.
Como \overline v^{3}=(v_{\max}/2)^{3}=v_{\max}^{3}/8, obtemos
\alpha =\frac{1}{\overline v^{3}\,A}\int_{A}v^{3}\,dA =\frac{\pi R^{2}v_{\max}^{3}/4}{(v_{\max}^{3}/8)\,\pi R^{2}} =2.

Resposta

\displaystyle \overline v = \frac{v_{\max}}{2},\quad \alpha=2,\quad \beta=\frac{4}{3}.

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