Questão 4. (Integrais duplas em coordenadas polares) Calcule as seguintes integrais duplas, usando coordenadas polares:
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} d y d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\, dy\, dx.
Informações dadas:
  1. Os limites de x são x\in[-1,1].
  2. Para cada x, os limites de y são y\in\left[-\sqrt{1-x^{2}},\,\sqrt{1-x^{2}}\right].
  3. O integrando é \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}.
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Identificar a região de integração no plano xy. A condição y\in\left[-\sqrt{1-x^{2}},\sqrt{1-x^{2}}\right] para x\in[-1,1] significa que
-\sqrt{1-x^{2}}\le y\le \sqrt{1-x^{2}}
ou seja y^{2}\le 1-x^{2}, o que implica
x^{2}+y^{2}\le 1.
Portanto a região de integração é o disco fechado de raio 1 centrado na origem:
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 3

Explicação sobre coordenadas polares e a mudança de variável. Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido desde o eixo x. Note que
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Ao trocar de variáveis, o elemento de área dA = dx\,dy transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve explicação do fator r: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados dr e r\,d\theta (o arco de círculo de raio r e ângulo d\theta), então a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Esse é o “Jacobiano” da transformação.

Passo 4

Converter o integrando e os limites para coordenadas polares. Como a região D é o disco de raio 1, em coordenadas polares os limites são
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
O integrando \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} vira \left(r^{2}\right)^{2}=r^{4}. Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos a função a integrar em polares:
r^{4}\cdot r = r^{5}.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas polares. Substituindo tudo:
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\, dy\, dx = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{5}\, dr\, d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna (em r). A primitiva de r^{5} em relação a r é \dfrac{r^{6}}{6}. Assim
\int_{0}^{1} r^{5}\, dr = \left.\frac{r^{6}}{6}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{6}}{6}-0 = \frac{1}{6}.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e multiplicar. A integral em \theta é
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando pelo resultado do passo anterior:
2\pi\cdot \frac{1}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

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