Questão 4. (Integrais duplas em coordenadas polares) Calcule as seguintes integrais duplas, usando coordenadas polares:
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}} d A, onde R é a região limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\, dA,
onde R é a região limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9. Informações importantes extraídas do enunciado:
\;1.\ \;R é um anel (uma coroa circular) centrado na origem com raio interior \;1 e raio exterior \;3.
\;2.\ \;A função a integrar é e^{x^{2}+y^{2}}.
A pergunta é: calcular o valor numérico exato dessa integral dupla.

Passo 2

Vamos trocar para coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos as fórmulas
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Uma observação importante: x^{2}+y^{2}=r^{2}. Portanto a função e^{x^{2}+y^{2}} vai virar e^{r^{2}}.

Passo 3

Precisamos também do fator de mudança de variável (o jacobiano). O elemento de área em coordenadas polares é
dA = r\,dr\,d\theta.
Intuição rápida: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta porque o comprimento na direção angular é r\,\Delta\theta. Esse fator r é crucial.

Passo 4

Determinar os limites de integração. Como R é o anel entre as circunferências r=1 e r=3 e engloba todo o ângulo, temos
1 \le r \le 3,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
Portanto a integral transformada fica (escrevo em bloco):
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\, dA \;=\; \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{3} e^{r^{2}}\, r\, dr\, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r. Fazemos a substituição clássica para integrar e^{r^{2}} r: ponha
u = r^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr = \tfrac{1}{2}\,du.
Quando r=1 temos u=1. Quando r=3 temos u=9. Assim
\int_{1}^{3} e^{r^{2}}\, r\, dr \;=\; \frac{1}{2}\int_{1}^{9} e^{u}\, du.

Passo 6

Integrando em u obtemos
\frac{1}{2}\int_{1}^{9} e^{u}\, du \;=\; \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{1}^{9} \;=\; \frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e^{1}\bigr) \;=\; \frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e\bigr).

Passo 7

Agora integramos em \theta. Como o resultado anterior não depende de \theta, temos
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e\bigr)\right)\, d\theta \;=\; \frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e\bigr)\cdot\int_{0}^{2\pi} d\theta \;=\; \frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e\bigr)\cdot 2\pi.

Passo 8

Simplificando o fator \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi obtemos o resultado final:
\pi\bigl(e^{9}-e\bigr).

Resposta

\pi\bigl(e^{9}-e\bigr)

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