Questão 4. (Integrais duplas em coordenadas polares) Calcule as seguintes integrais duplas, usando coordenadas polares:
, onde
é a região limitada pelas circunferências
e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas circunferências
e
. Informações importantes extraídas do enunciado:
\
é um anel (uma coroa circular) centrado na origem com raio interior
e raio exterior
.
\
função a integrar é
.
A pergunta é: calcular o valor numérico exato dessa integral dupla.
A pergunta é: calcular o valor numérico exato dessa integral dupla.
Passo 2
Vamos trocar para coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos as fórmulas
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
. Uma observação importante:
. Portanto a função
vai virar
.
Passo 3
Precisamos também do fator de mudança de variável (o jacobiano). O elemento de área em coordenadas polares é
Intuição rápida: um pequeno retângulo em
tem área aproximadamente
porque o comprimento na direção angular é
. Esse fator
é crucial.
Passo 4
Determinar os limites de integração. Como
é o anel entre as circunferências
e
e engloba todo o ângulo, temos
Portanto a integral transformada fica (escrevo em bloco):
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Fazemos a substituição clássica para integrar
: ponha
Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Passo 6
Integrando em
obtemos
Passo 7
Agora integramos em
. Como o resultado anterior não depende de
, temos
Passo 8
Simplificando o fator
obtemos o resultado final: