Questão 1. ( Integrais duplas sobre regiões retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{R} x \ln y d x d y, onde R=[0,2] \times[1,2];

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x \ln y \, dx\, dy,
onde R = [0,2]\times[1,2].
Informações dadas que vamos usar: o domínio é o retângulo com x variando de 0 a 2 e y variando de 1 a 2; a função integranda é x\ln y.

Passo 2

Observação e escolha do método (explicando a ideia): a função (x,y)\mapsto x\ln y é contínua em R (produto de funções contínuas em variáveis separadas), portanto podemos usar o Teorema de Fubini e calcular a integral dupla como uma integral iterada. Além disso, note que x\ln y separa em produto de uma função só de x e outra só de y:
x\ln y = \bigl(x\bigr)\cdot\bigl(\ln y\bigr).
Num retângulo, a integral dupla de um produto assim factoriza:
\iint_{R} x\ln y \,dx\,dy = \left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{1}^{2} \ln y\,dy\right).
Vou então calcular as duas integrais simples separadamente. Isso é mais rápido na prova e evita calcular integrais iteradas uma a uma.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{0}^{2} x\,dx. Usamos a regra do poder: \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C. Portanto,
\int_{0}^{2} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2} = \frac{4}{2}=2.
Então a parte em x vale 2.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{1}^{2} \ln y\,dy. Aqui usamos integração por partes. Lembre a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u é uma função a derivar e dv é a parte que integramos. Para \int \ln y\,dy uma escolha natural é u=\ln y e dv=dy. Então calculamos du e v:
du = \frac{1}{y}\,dy,\qquad v=\int dv=\int 1\,dy = y.
Aplicando a fórmula,
\int \ln y\,dy = y\ln y - \int y\cdot\frac{1}{y}\,dy = y\ln y - \int 1\,dy = y\ln y - y + C.
Agora avaliamos o termo definido de y=1 a y=2:
\int_{1}^{2} \ln y\,dy = \left.\bigl(y\ln y - y\bigr)\right|_{1}^{2} = \bigl(2\ln 2 - 2\bigr) - \bigl(1\cdot\ln 1 - 1\bigr).
Sabendo que \ln 1 = 0, isso vira
\int_{1}^{2} \ln y\,dy = 2\ln 2 -2 - (0-1) = 2\ln 2 -2 +1 = 2\ln 2 -1.

Passo 5

Multiplicamos os resultados das duas integrais:
\iint_{R} x\ln y \,dx\,dy = \left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{1}^{2} \ln y\,dy\right) = 2\cdot\bigl(2\ln 2 -1\bigr).
Fazendo a multiplicação:
2\cdot\bigl(2\ln 2 -1\bigr) = 4\ln 2 -2.

Resposta

4\ln 2 - 2

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