Questão 1. ( Integrais duplas sobre regiões retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas: \iint_{R} x \ln y d x d y, onde R=[0,2] \times[1,2];
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x \ln y \, dx\, dy,
onde R = [0,2]\times[1,2].
Informações dadas que vamos usar: o domínio é o retângulo com x variando de 0 a 2 e y variando de 1 a 2; a função integranda é x\ln y.
Passo 2
Observação e escolha do método (explicando a ideia): a função (x,y)\mapsto x\ln y é contínua em R (produto de funções contínuas em variáveis separadas), portanto podemos usar o Teorema de Fubini e calcular a integral dupla como uma integral iterada. Além disso, note que x\ln y separa em produto de uma função só de x e outra só de y:
x\ln y = \bigl(x\bigr)\cdot\bigl(\ln y\bigr).
Num retângulo, a integral dupla de um produto assim factoriza:
\iint_{R} x\ln y \,dx\,dy = \left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{1}^{2} \ln y\,dy\right).
Vou então calcular as duas integrais simples separadamente. Isso é mais rápido na prova e evita calcular integrais iteradas uma a uma.
Passo 3
Calcular \displaystyle \int_{0}^{2} x\,dx. Usamos a regra do poder: \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C. Portanto,