Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\int_{0}^{1} \int_{-x}^{x^{2}} y^{2} x d y d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{-x}^{x^{2}} y^{2} x \, dy \, dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de x é [0,1].
  • Para cada x nesse intervalo, y varia de y=-x até y=x^{2}.
  • A função a integrar é y^{2}x.
    As perguntas implícitas são: efetuar a integração interna em y e depois a integração externa em x, chegando ao valor numérico final da integral.

Passo 2

Vamos entender o que significa integrar primeiro em y. Na expressão \int_{-x}^{x^{2}} y^{2} x \, dy o símbolo de integração é com relação a y, então tratamos x como constante nessa etapa. Isso acontece sempre que uma integral é tomada em relação a uma variável: as outras variáveis são constantes durante essa integração.

Passo 3

Aplico a regra de potência para integrar em y. A regra é: para n\neq -1,
\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}.
Aqui integrando y^{2} obtemos \dfrac{y^{3}}{3}. Como temos um fator multiplicativo x (constante em relação a y), temos
\int_{-x}^{x^{2}} y^{2} x \, dy = x \int_{-x}^{x^{2}} y^{2} \, dy = x\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=-x}^{y=x^{2}}.

Passo 4

Agora avalio a primitiva nos limites. Calculo as potências:
(x^{2})^{3} = x^{6},\qquad (-x)^{3} = -x^{3}.
Substituindo nos limites:
x\left(\frac{x^{6}}{3} - \frac{-x^{3}}{3}\right) = x\left(\frac{x^{6}+x^{3}}{3}\right).
Simplificando o fator x:
x\left(\frac{x^{6}+x^{3}}{3}\right) = \frac{1}{3}\bigl(x^{7}+x^{4}\bigr).

Passo 5

Portanto a integral dupla original reduz-se à integral simples em x:
\int_{0}^{1} \int_{-x}^{x^{2}} y^{2} x \, dy \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{3}\bigl(x^{7}+x^{4}\bigr)\, dx.
Posso tirar o fator constante \dfrac{1}{3} para fora da integral:
\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\bigl(x^{7}+x^{4}\bigr)\, dx.

Passo 6

Integro termo a termo usando a regra de potência em x:
\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8},\qquad \int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}.
Assim
\frac{1}{3}\left[\frac{x^{8}}{8}+\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}.

Passo 7

Avalio nos limites 0 e 1. Em x=1 a soma é \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{5}. Em x=0 ambos termos são 0. Então
\frac{1}{3}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{5+8}{40}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{13}{40}=\frac{13}{120}.

Resposta

\dfrac{13}{120}

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