Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- O intervalo de
é . - Para cada
nesse intervalo, varia de até . - A função a integrar é
.
As perguntas implícitas são: efetuar a integração interna eme depois a integração externa em , chegando ao valor numérico final da integral.
Passo 2
Vamos entender o que significa integrar primeiro em
. Na expressão
o símbolo de integração é com relação a
, então tratamos
como constante nessa etapa. Isso acontece sempre que uma integral é tomada em relação a uma variável: as outras variáveis são constantes durante essa integração.
Passo 3
Aplico a regra de potência para integrar em
. A regra é: para
,
Aqui integrando
obtemos
. Como temos um fator multiplicativo
(constante em relação a
), temos
Passo 4
Agora avalio a primitiva nos limites. Calculo as potências:
Substituindo nos limites:
Simplificando o fator
:
Passo 5
Portanto a integral dupla original reduz-se à integral simples em
:
Posso tirar o fator constante
para fora da integral:
Passo 6
Integro termo a termo usando a regra de potência em
:
Assim
Passo 7
Avalio nos limites
e
. Em
a soma é
. Em
ambos termos são
. Então