Questão 1. ( Integrais duplas sobre regiões retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas: \iint_{R} \frac{1+x^{2}}{1+y^{2}} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right., 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}\right\};
onde R=[a,b]\times[c,d]. Esse é um resultado direto do teorema de Fubini/Tonelli aplicado a regiões retangulares e funções razoáveis (contínuas, por exemplo). Aqui f(x)=1+x^{2} e g(y)=\dfrac{1}{1+y^{2}}. Portanto
Antiderivadas básicas que usamos: a antiderivada de 1 em x é x; a antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3} porque a derivada de \dfrac{x^{3}}{3} é x^{2}. Logo a primitiva de 1+x^{2} é x+\dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando nos limites:
Fato importante: a derivada da função \arctan(y) é \dfrac{d}{dy}\arctan(y)=\dfrac{1}{1+y^{2}}. Assim uma primitiva de \dfrac{1}{1+y^{2}} é \arctan(y). Avaliando nos limites:
Pequeno resumo prático (para a prova): quando o integrando é produto f(x)g(y) e a região é retangular, calcule duas integrais simples separadas e multiplique. Aqui f(x)=1+x^{2} deu primitiva x+\tfrac{x^{3}}{3} e g(y)=\tfrac{1}{1+y^{2}} deu primitiva \arctan(y). Vai dar certo se você lembrar dessas primitividades e da propriedade de separação.