Questão 1. ( Integrais duplas sobre regiões retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{R} \frac{1+x^{2}}{1+y^{2}} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right., 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA
onde R é o retângulo dado por
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\;0\le y\le \tfrac{\pi}{2}\}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{integrando: }\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}},\qquad \text{limites em }x:\;0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\qquad \text{limites em }y:\;0\le y\le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Observação útil (fato que vamos usar): a função integrando é produto de uma função de x pelo inverso de uma função de y. Escrevemos explicitamente
\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}=(1+x^{2})\cdot\frac{1}{1+y^{2}}.
Para integrais sobre retângulos, quando o integrando se separa em produto f(x)\,g(y), a integral dupla separa em produto de integrais simples:
\iint_{R} f(x)g(y)\,dA = \left(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right)\left(\int_{c}^{d} g(y)\,dy\right),
onde R=[a,b]\times[c,d]. Esse é um resultado direto do teorema de Fubini/Tonelli aplicado a regiões retangulares e funções razoáveis (contínuas, por exemplo). Aqui f(x)=1+x^{2} e g(y)=\dfrac{1}{1+y^{2}}. Portanto
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA =\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+x^{2})\,dx\right)\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy\right).

Passo 3

Vamos calcular a integral em x:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+x^{2})\,dx.
Antiderivadas básicas que usamos: a antiderivada de 1 em x é x; a antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3} porque a derivada de \dfrac{x^{3}}{3} é x^{2}. Logo a primitiva de 1+x^{2} é x+\dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando nos limites:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+x^{2})\,dx =\left[x+\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{3}\right)-0.
Calculemos o termo cúbico:
\left(\frac{\pi}{2}\right)^{3}=\frac{\pi^{3}}{8},
portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+x^{2})\,dx =\frac{\pi}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi^{3}}{8} =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi^{3}}{24}.

Passo 4

Agora calculamos a integral em y:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy.
Fato importante: a derivada da função \arctan(y) é \dfrac{d}{dy}\arctan(y)=\dfrac{1}{1+y^{2}}. Assim uma primitiva de \dfrac{1}{1+y^{2}} é \arctan(y). Avaliando nos limites:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy =\left[\arctan(y)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\arctan\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\arctan(0).
Como \arctan(0)=0, obtemos
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy=\arctan\!\left(\frac{\pi}{2}\right).

Passo 5

Multiplicamos os resultados das duas integrais:
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA =\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi^{3}}{24}\right)\cdot\arctan\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Podemos, se quisermos, fatorar \dfrac{\pi}{2}:
\frac{\pi}{2}\left(1+\frac{\pi^{2}}{12}\right)\arctan\!\left(\frac{\pi}{2}\right),
mas ambas as formas representam o mesmo valor.

Passo 6

Pequeno resumo prático (para a prova): quando o integrando é produto f(x)g(y) e a região é retangular, calcule duas integrais simples separadas e multiplique. Aqui f(x)=1+x^{2} deu primitiva x+\tfrac{x^{3}}{3} e g(y)=\tfrac{1}{1+y^{2}} deu primitiva \arctan(y). Vai dar certo se você lembrar dessas primitividades e da propriedade de separação.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi^{3}}{24}\right)\arctan\!\left(\frac{\pi}{2}\right)

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