Questão 5. As integrais de superfície tem aplicações semelhantes às dadas no exercício 2 . Se S representa uma superficie (por exemplo, uma folha fina ou uma placa de alumínio ou de ferro) e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto ( x, y, z ) for representada por \delta(x, y, z) então a massa total da superfície é dada por:
M=\iint_{S} \delta(x, y, z) d S
E o centro de massa será ( \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} ) onde:
\begin{aligned} \bar{x} & =\frac{1}{M} \iint_{S} x \delta(x, y, z) d S \\\ \bar{y} & =\frac{1}{M} \int_{S} y \delta(x, y, z) d S \\\ \bar{z} & =\frac{1}{M} \int_{S} z \delta(z, y, z) d S \end{aligned}
Nos próximos itens, dada a superfície e a densidade, calcule a massa e o centro de massa.
Os momentos de inércia da superfície S em relação aos eixos x, y, z, respectivamente, são:
\begin{aligned} & I_{x}=\int_{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d S \\\ & I_{y}=\int_{S}\left(x^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d S \end{aligned}
I_{z}=\int_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \delta(x, y, z) d S
Calcule os momentos de inércia das seguintes superfícies: S é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 z \geq 0 com densidade \delta(x, y, z)=z.
Passo 1
O enunciado pede que, para a superfície S e densidade dadas, eu calcule:
S é a hemisfera superior de raio 1: \{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=1,\\ z\ge 0\}.
densidade \delta(x,y,z)=z.
Nada mais foi fornecido; vou usar essas informações para resolver passo a passo.
Passo 2
Escolher uma parametrização conveniente e o elemento de área da superfície.
Explicação curta sobre coordenadas esféricas (útil aqui): para uma esfera de raio 1 é natural usar os ângulos esféricos \varphi (ângulo polar a partir do eixo z) e \theta (ângulo azimutal no plano xy):
Vou calcular a integral em \varphi primeiro. Use a substituição u=\sin\varphi, então du=\cos\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=0; quando \varphi=\pi/2 temos u=1. Assim
Observação de simetria: a hemisfera superior e a densidade \delta=z são simétricas em relação ao eixo z (para cada ponto com coordenada (x,y,z) há um ponto com (-x,y,z) e outro com (x,-y,z) com mesma densidade). Isso implica que as contribuições de x e de y nas integrais do numerador se cancelam. Logo
\bar{x}=0,\qquad \bar{y}=0.
Explicação didática curta: integrando x\cdot z sobre todos os \theta de 0 a 2\pi dá zero porque a função \cos\theta média é zero; mesma ideia para y com \sin\theta.
Calcule as integrais em \theta primeiro onde possível.
Para a primeira parte, \int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \pi (fato padrão: média de \sin^2\theta é 1/2 e multiplicando por 2\pi dá \pi). Para a segunda parte, não há dependência em \theta, então \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.