Questão 5. As integrais de superfície tem aplicações semelhantes às dadas no exercício 2 . Se S representa uma superficie (por exemplo, uma folha fina ou uma placa de alumínio ou de ferro) e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto ( x, y, z ) for representada por \delta(x, y, z) então a massa total da superfície é dada por:
M=\iint_{S} \delta(x, y, z) d S
E o centro de massa será ( \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} ) onde:
\begin{aligned} \bar{x} & =\frac{1}{M} \iint_{S} x \delta(x, y, z) d S \\\ \bar{y} & =\frac{1}{M} \int_{S} y \delta(x, y, z) d S \\\ \bar{z} & =\frac{1}{M} \int_{S} z \delta(z, y, z) d S \end{aligned}
Nos próximos itens, dada a superfície e a densidade, calcule a massa e o centro de massa.
Os momentos de inércia da superfície S em relação aos eixos x, y, z, respectivamente, são:
\begin{aligned} & I_{x}=\int_{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d S \\\ & I_{y}=\int_{S}\left(x^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d S \end{aligned}
I_{z}=\int_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \delta(x, y, z) d S
Calcule os momentos de inércia das seguintes superfícies:
S é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 z \geq 0 com densidade \delta(x, y, z)=z.

Passo 1

O enunciado pede que, para a superfície S e densidade dadas, eu calcule:
  • a massa total M=\iint_{S}\delta(x,y,z)\,dS;
  • o centro de massa (\bar{x},\bar{y},\bar{z}), com
\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{S} x\,\delta(x,y,z)\,dS,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iint_{S} y\,\delta(x,y,z)\,dS,\qquad \bar{z}=\frac{1}{M}\iint_{S} z\,\delta(x,y,z)\,dS;
  • os momentos de inércia
I_x=\iint_S (y^2+z^2)\,\delta(x,y,z)\,dS,\quad I_y=\iint_S (x^2+z^2)\,\delta(x,y,z)\,dS,\quad I_z=\iint_S (x^2+y^2)\,\delta(x,y,z)\,dS.
Informações dadas:
  • S é a hemisfera superior de raio 1: \{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=1,\\ z\ge 0\}.
  • densidade \delta(x,y,z)=z.
Nada mais foi fornecido; vou usar essas informações para resolver passo a passo.

Passo 2

Escolher uma parametrização conveniente e o elemento de área da superfície.
Explicação curta sobre coordenadas esféricas (útil aqui): para uma esfera de raio 1 é natural usar os ângulos esféricos \varphi (ângulo polar a partir do eixo z) e \theta (ângulo azimutal no plano xy):
x=\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\cos\varphi,
com 0\le\theta\le 2\pi e 0\le\varphi\le \pi/2 (porque queremos só a hemisfera superior). O elemento de área na esfera de raio 1 é
dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Comentário: sempre que eu parametrizo a esfera por (\varphi,\theta), substituo x,y,z por essas expressões e uso dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Calcular a massa M=\iint_{S} \delta(x,y,z)\,dS usando a parametrização.
Substituindo \delta(x,y,z)=z=\cos\varphi e dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta, obtemos a integral dupla
M=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2} \cos\varphi\cdot\sin\varphi\;d\varphi\,d\theta.
Vou calcular a integral em \varphi primeiro. Use a substituição u=\sin\varphi, então du=\cos\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=0; quando \varphi=\pi/2 temos u=1. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\int_{0}^{1} u\,du=\left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Agora integro em \theta:
M=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi.
Portanto a massa total é M=\pi.

Passo 4

Determinar \bar{x} e \bar{y} por simetria.
Observação de simetria: a hemisfera superior e a densidade \delta=z são simétricas em relação ao eixo z (para cada ponto com coordenada (x,y,z) há um ponto com (-x,y,z) e outro com (x,-y,z) com mesma densidade). Isso implica que as contribuições de x e de y nas integrais do numerador se cancelam. Logo
\bar{x}=0,\qquad \bar{y}=0.
Explicação didática curta: integrando x\cdot z sobre todos os \theta de 0 a 2\pi dá zero porque a função \cos\theta média é zero; mesma ideia para y com \sin\theta.

Passo 5

Calcular \bar{z}=\dfrac{1}{M}\iint_{S} z\,\delta(x,y,z)\,dS=\dfrac{1}{M}\iint_{S} z^{2}\,dS.
Usando a parametrização, z^{2}=\cos^{2}\varphi e dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta. Assim
\iint_{S} z^{2}\,dS=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Calcule a integral em \varphi com a substituição u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0, u=1; quando \varphi=\pi/2, u=0. Então
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi = -\int_{1}^{0} u^{2}\,du = \int_{0}^{1} u^{2}\,du = \left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Integrando em \theta:
\iint_{S} z^{2}\,dS = \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}\,d\theta = \frac{2\pi}{3}.
Logo
\bar{z}=\frac{1}{M}\iint_{S} z^{2}\,dS = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{2}{3}.
Resumo até aqui: \bar{x}=0, \bar{y}=0, \bar{z}=\dfrac{2}{3}.

Passo 6

Preparar para calcular os momentos de inércia. Vou reescrever as expressões usando a densidade \delta=z:
I_x=\iint_S (y^2+z^2)\,z\,dS,\qquad I_y=\iint_S (x^2+z^2)\,z\,dS,\qquad I_z=\iint_S (x^2+y^2)\,z\,dS.
Observação útil: sobre a esfera de raio 1 vale x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, então x^{2}+y^{2}=1-z^{2}. Isso pode simplificar I_z se eu quiser.
Também por simetria entre x e y espero que I_x=I_y. Vou calcular I_x e I_z (com I_y igual a I_x).

Passo 7

Calcular I_x=\iint_S (y^2+z^2)\,z\,dS em coordenadas esféricas.
Substituições:
y=\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\cos\varphi,\qquad dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Então o integrando fica
(y^2+z^2)\,z = (\sin^2\varphi\sin^2\theta + \cos^2\varphi)\cos\varphi.
Multiplicando por dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta:
(y^2+z^2)\,z\,dS = \left(\sin^2\varphi\sin^2\theta\cos\varphi + \cos^3\varphi\right)\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Separe em duas integrais:
I_x = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} \sin^3\varphi\sin^2\theta\cos\varphi \,d\varphi\,d\theta \;+\; \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos^3\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Calcule as integrais em \theta primeiro onde possível.
Para a primeira parte, \int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \pi (fato padrão: média de \sin^2\theta é 1/2 e multiplicando por 2\pi \pi). Para a segunda parte, não há dependência em \theta, então \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Assim
I_x = \pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\varphi\cos\varphi\,d\varphi \;+\; 2\pi\int_{0}^{\pi/2}\cos^3\varphi\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 8

Calcular as integrais em \varphi que apareceram em I_x.
Primeira integral:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\varphi\cos\varphi\,d\varphi.
Use u=\sin\varphi, du=\cos\varphi\,d\varphi. Limites: u(0)=0, u(\pi/2)=1. Então
\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\varphi\cos\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{1} u^3\,du = \left.\frac{u^4}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Segunda integral:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^3\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Use v=\cos\varphi, dv=-\sin\varphi\,d\varphi. Limites: v(0)=1, v(\pi/2)=0. Então
\int_{0}^{\pi/2}\cos^3\varphi\sin\varphi\,d\varphi = -\int_{1}^{0} v^3\,dv = \int_{0}^{1} v^3\,dv = \frac{1}{4}.
Substituindo de volta em I_x:
I_x = \pi\cdot\frac{1}{4} + 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}.
Portanto I_x=\dfrac{3\pi}{4}.

Passo 9

Pelo mesmo argumento de simetria entre x e y, temos
I_y = I_x = \frac{3\pi}{4}.
Explicação rápida: trocando \cos\theta por \sin\theta nas expressões de x e y leva ao mesmo valor após integração em \theta.

Passo 10

Calcular I_z=\iint_S (x^2+y^2)\,z\,dS. Usarei duas vias para ficar didático; ambas levam ao mesmo resultado.
Vía direta em esféricas:
x^2+y^2=\sin^2\varphi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\sin^2\varphi,
então
I_z=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} \sin^2\varphi\cdot\cos\varphi\cdot\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =2\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\varphi\cos\varphi\,d\varphi.
Já calculámos \int_{0}^{\pi/2}\sin^3\varphi\cos\varphi\,d\varphi=\dfrac{1}{4}. Logo
I_z=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}.
Vía usando x^2+y^2=1-z^2 (confirmação rápida):
I_z=\iint_S (1-z^2)z\,dS = \iint_S z\,dS - \iint_S z^3\,dS.
Já temos \iint_S z\,dS=M=\pi. Para \iint_S z^3\,dS, em esféricas é
\iint_S z^3\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos^3\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}.
Então I_z=\pi-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}, igual ao resultado direto.

Passo 11

Resumo dos resultados calculados (antes da resposta final):
  • massa M=\pi;
  • centro de massa (\bar{x},\bar{y},\bar{z})=(0,0,\tfrac{2}{3});
  • momentos I_x=I_y=\tfrac{3\pi}{4}, I_z=\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

M=\pi
\bar{x}=0
\bar{y}=0
\bar{z}=\dfrac{2}{3}
I_{x}=\dfrac{3\pi}{4}
I_{y}=\dfrac{3\pi}{4}
I_{z}=\dfrac{\pi}{2}

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