Estude a convergência das seqüências abaixo: \left\{\frac{n!}{n^{n}}\right\}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_n=\frac{n!}{n^{n}}.
Ou seja: preciso decidir se a sequência \{a_n\}_{n=1}^\infty converge e, em caso afirmativo, qual é o seu limite. As informações dadas são exatamente a expressão da sequência para cada n: o numerador é o fatorial n! (produto dos inteiros de 1 a n) e o denominador é n^{n} (produto de n por ele mesmo n vezes).
Passo 2
Reescrevemos a_n como um produto de fatores mais simples, porque n!=1\cdot2\cdot3\cdots n. Assim:
a_n=\frac{n!}{n^{n}}=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}.
Explicação didática: cada fração \frac{k}{n} é um número entre 0 e 1 (para 1\le k\le n), e o produto desses n fatores dá exatamente a_n. Esta forma em produto é útil para comparar com produtos mais simples que conhecemos.
Passo 3
Observação chave: vários desses fatores \frac{k}{n} são bem pequenos. Em particular, considere os primeiros \lfloor n/2\rfloor termos do produto (ou seja, k=1,2,\dots,\lfloor n/2\rfloor). Para esses k temos
portanto cada um desses primeiros \lfloor n/2\rfloor fatores é no máximo \frac{1}{2}. Os fatores restantes (para k>\lfloor n/2\rfloor) são menores ou iguais a 1. Assim podemos majorar a_n por:
Explicação didática: isso é apenas separar o produto em duas partes — uma com muitos fatores pequenos (≤1/2) e outra com fatores ≤1 — e usar que multiplicar por números ≤1 só diminui o produto.
Passo 4
Agora analiso o limite da bound (cota superior). Como \lfloor n/2\rfloor\to\infty quando n\to\infty, temos
e o lado direito tende a 0 exponencialmente rápido quando n\to\infty. Como a_n\ge 0 para todo n e a_n\le\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor} e essa cota superior tende a 0, pelo teorema do confronto conclui-se que a_n\to 0.
Passo 5
Comentário extra (método alternativo curto): calcule a razão
Isto mostra que, multiplicando sucessivas vezes, os termos decrescem geometricamente a uma taxa assintótica e^{-1}, confirmando que a sequência tende a 0. (Usei isto só como reforço; a prova por comparação já é suficiente.)