Estude a convergência das seqüências abaixo:
\left\{\frac{n!}{n^{n}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_n=\frac{n!}{n^{n}}.
Ou seja: preciso decidir se a sequência \{a_n\}_{n=1}^\infty converge e, em caso afirmativo, qual é o seu limite. As informações dadas são exatamente a expressão da sequência para cada n: o numerador é o fatorial n! (produto dos inteiros de 1 a n) e o denominador é n^{n} (produto de n por ele mesmo n vezes).

Passo 2

Reescrevemos a_n como um produto de fatores mais simples, porque n!=1\cdot2\cdot3\cdots n. Assim:
a_n=\frac{n!}{n^{n}}=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}.
Explicação didática: cada fração \frac{k}{n} é um número entre 0 e 1 (para 1\le k\le n), e o produto desses n fatores dá exatamente a_n. Esta forma em produto é útil para comparar com produtos mais simples que conhecemos.

Passo 3

Observação chave: vários desses fatores \frac{k}{n} são bem pequenos. Em particular, considere os primeiros \lfloor n/2\rfloor termos do produto (ou seja, k=1,2,\dots,\lfloor n/2\rfloor). Para esses k temos
\frac{k}{n}\le\frac{\lfloor n/2\rfloor}{n}\le\frac{1}{2},
portanto cada um desses primeiros \lfloor n/2\rfloor fatores é no máximo \frac{1}{2}. Os fatores restantes (para k>\lfloor n/2\rfloor) são menores ou iguais a 1. Assim podemos majorar a_n por:
a_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\le\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}\cdot 1^{\,n-\lfloor n/2\rfloor}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}.
Explicação didática: isso é apenas separar o produto em duas partes — uma com muitos fatores pequenos (≤1/2) e outra com fatores ≤1 — e usar que multiplicar por números ≤1 só diminui o produto.

Passo 4

Agora analiso o limite da bound (cota superior). Como \lfloor n/2\rfloor\to\infty quando n\to\infty, temos
\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}\to 0.
Para ser um pouco mais explícito, note que \lfloor n/2\rfloor\ge \frac{n}{2}-\frac{1}{2}, então
\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}\le\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}-\frac{1}{2}}=2\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}},
e o lado direito tende a 0 exponencialmente rápido quando n\to\infty. Como a_n\ge 0 para todo n e a_n\le\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor} e essa cota superior tende a 0, pelo teorema do confronto conclui-se que a_n\to 0.

Passo 5

Comentário extra (método alternativo curto): calcule a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!/(n+1)^{\,n+1}}{n!/n^{n}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}e^{-1}<1.
Isto mostra que, multiplicando sucessivas vezes, os termos decrescem geometricamente a uma taxa assintótica e^{-1}, confirmando que a sequência tende a 0. (Usei isto só como reforço; a prova por comparação já é suficiente.)

Resposta

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