Questão 6. Para cada um dos campos em
abaixo, represente-o graficamente e determine o rotacional.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o campo em
:
- Representá-lo graficamente.
- Determinar o rotacional.
As informações fornecidas são:
Observação importante retirada do enunciado: o campo usa a expressão
no denominador, logo a fórmula não está definida no ponto
. Portanto a expressão vale apenas para
.
Passo 2
Vamos entender qualitativamente o campo para poder desenhá-lo. Defina
Então as componentes são
e
. Note o seguinte (vou explicar cada item com calma para você poder reproduzir na prova):
-
Direção dos vetores: em qualquer ponto
o vetor tem a mesma direção do vetor posição , porque . Ou seja, é um vetor radial apontando para fora (para longe da origem) se . -
Módulo dos vetores: calcule o comprimento de
:
Portanto todos os vetores têm comprimento
(unitários), para
.
Como desenhar (passo a passo): em uma malha de pontos do plano, em cada ponto
desenhe uma seta de comprimento 1 apontando na direção do ponto (isto é, a partir do ponto, a seta aponta radialmente para fora). Exemplos concretos para visualizar:
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: .
Resumo gráfico: um campo radial unitário — setas de mesmo tamanho apontando diretamente para fora do centro — e sem seta em
porque ali a fórmula não existe.
Passo 3
Agora vamos calcular o rotacional. Em
para um campo
o rotacional (componente perpendicular ao plano, o chamado escalar do rotacional) é dado por
Explico:
é a componente
e
a componente
. Esse resultado vem da definição do rotacional 3D e pegando a componente
(fora do plano), mas na prática para exercícios de duas variáveis usamos essa fórmula direta.
Aqui temos
e
com
. Vamos derivar com cuidado usando a regra da cadeia/produto.
Passo 4
Calculemos
. Escreva
. Diferenciando em relação a
(tratando
como constante) aplicamos a regra da cadeia:
Agora calculemos
. Escreva
. Diferenciando em relação a
(tratando
como constante):
Agora aplicamos a fórmula do rotacional:
Esse cálculo é válido para todos os pontos onde as derivadas existem, ou seja para todos
com
. No ponto
a expressão original não está definida, logo o rotacional clássico também não está definido ali.
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova:
- O campo é exatamente o gradiente da função
para , porque
Logo
é um campo gradiente (potencial) em
e isso explica por que o rotacional é
nessa região. Na prova: se você reconhece rápido que
, já pode concluir que o rotacional é zero (desde que mencione que isto vale onde
).
- Lembre-se de comentar que no ponto
tudo é singular: nem campo nem rotacional clássicos estão definidos lá.
Força aí — você já tem a imagem mental do campo (setas unitárias radiais) e o cálculo do rotacional explicado passo a passo.
Resposta
Representação gráfica: setas de comprimento
em cada ponto
, apontando radialmente para fora (direção de
), sem definição em
.
Rotacional: para
. (No ponto
o campo e o rotacional clássico não estão definidos.)
Rotacional: