Questão 6. Para cada um dos campos em \mathbb{R}^{2} abaixo, represente-o graficamente e determine o rotacional.
\vec{F}(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \vec{\imath}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \vec{\jmath}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o campo em \mathbb{R}^2:
  1. Representá-lo graficamente.
  2. Determinar o rotacional.
As informações fornecidas são:
\vec{F}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\vec{\imath}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\vec{\jmath}.
Observação importante retirada do enunciado: o campo usa a expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} no denominador, logo a fórmula não está definida no ponto (0,0). Portanto a expressão vale apenas para (x,y)\neq(0,0).

Passo 2

Vamos entender qualitativamente o campo para poder desenhá-lo. Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Então as componentes são P(x,y)=\dfrac{x}{r} e Q(x,y)=\dfrac{y}{r}. Note o seguinte (vou explicar cada item com calma para você poder reproduzir na prova):
  • Direção dos vetores: em qualquer ponto (x,y) o vetor \vec{F}(x,y) tem a mesma direção do vetor posição (x,y), porque \vec{F}(x,y)=\dfrac{1}{r}(x,y). Ou seja, é um vetor radial apontando para fora (para longe da origem) se r>0.
  • Módulo dos vetores: calcule o comprimento de \vec{F}:
\|\vec{F}(x,y)\|=\sqrt{\left(\frac{x}{r}\right)^{2}+\left(\frac{y}{r}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{r^{2}}}=\sqrt{\frac{r^{2}}{r^{2}}}=1.
Portanto todos os vetores têm comprimento 1 (unitários), para r>0.
Como desenhar (passo a passo): em uma malha de pontos do plano, em cada ponto (x,y)\neq(0,0) desenhe uma seta de comprimento 1 apontando na direção do ponto (isto é, a partir do ponto, a seta aponta radialmente para fora). Exemplos concretos para visualizar:
  • Em (1,0): \vec{F}=(1,0).
  • Em (0,1): \vec{F}=(0,1).
  • Em (-1,0): \vec{F}=(-1,0).
  • Em (1,1): \vec{F}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1).
Resumo gráfico: um campo radial unitário — setas de mesmo tamanho apontando diretamente para fora do centro — e sem seta em (0,0) porque ali a fórmula não existe.

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional. Em \mathbb{R}^{2} para um campo \vec{F}=(P,Q) o rotacional (componente perpendicular ao plano, o chamado escalar do rotacional) é dado por
\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Explico: P(x,y) é a componente x e Q(x,y) a componente y. Esse resultado vem da definição do rotacional 3D e pegando a componente k (fora do plano), mas na prática para exercícios de duas variáveis usamos essa fórmula direta.
Aqui temos P(x,y)=\dfrac{x}{r} e Q(x,y)=\dfrac{y}{r} com r=(x^{2}+y^{2})^{1/2}. Vamos derivar com cuidado usando a regra da cadeia/produto.

Passo 4

Calculemos \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Escreva Q=y\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}. Diferenciando em relação a x (tratando y como constante) aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial Q}{\partial x} = y\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\cdot 2x = -\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Agora calculemos \dfrac{\partial P}{\partial y}. Escreva P=x\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}. Diferenciando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial P}{\partial y} = x\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\cdot 2y = -\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Agora aplicamos a fórmula do rotacional:
\operatorname{rot}\vec{F} =\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} - \left(-\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\right) =0.
Esse cálculo é válido para todos os pontos onde as derivadas existem, ou seja para todos (x,y) com r>0. No ponto (0,0) a expressão original não está definida, logo o rotacional clássico também não está definido ali.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova:
  • O campo é exatamente o gradiente da função \varphi(x,y)=r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} para r>0, porque
\nabla\varphi=\left(\frac{\partial r}{\partial x},\frac{\partial r}{\partial y}\right) =\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r}\right)=\vec{F}.
Logo \vec{F} é um campo gradiente (potencial) em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} e isso explica por que o rotacional é 0 nessa região. Na prova: se você reconhece rápido que \vec{F}=\nabla r, já pode concluir que o rotacional é zero (desde que mencione que isto vale onde r>0).
  • Lembre-se de comentar que no ponto (0,0) tudo é singular: nem campo nem rotacional clássicos estão definidos lá.
Força aí — você já tem a imagem mental do campo (setas unitárias radiais) e o cálculo do rotacional explicado passo a passo.

Resposta

Representação gráfica: setas de comprimento 1 em cada ponto (x,y)\neq(0,0), apontando radialmente para fora (direção de (x,y)), sem definição em (0,0).
Rotacional: \displaystyle \operatorname{rot}\vec{F}(x,y)=0 para (x,y)\neq(0,0). (No ponto (0,0) o campo e o rotacional clássico não estão definidos.)

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