Questão 2. Intuitivamente, dizemos que uma função f admite limite real \ell em um ponto x_{0} se pudermos aproximar arbitrariamente f(x) de \ell aproximando x suficientemente de x_{0} sem atingi-lo. Em linguagem matemática, temos:
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in D_{f}, 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon .
Negue esta afirmação em linguagem natural e matemática.

Passo 1

O enunciado pede que neguemos a seguinte afirmação, tanto em linguagem natural quanto em linguagem matemática. A afirmação dada é:
\forall \varepsilon>0,\; \exists \delta>0,\; \forall x\in D_{f},\; 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon .
Informações relevantes que temos do enunciado:
\begin{aligned} &\text{1. Quantificadores externos:}\quad \forall \varepsilon>0,\; \exists \delta>0,\; \forall x\in D_f.\\\ &\text{2. A condição sobre }x\text{ é }0<\left|x-x_0\right|<\delta.\\\ &\text{3. A implicação é }(0<|x-x_0|<\delta)\Rightarrow(|f(x)-\ell|<\varepsilon). \end{aligned}çãéçãé
O objetivo é escrever a negação dessa fórmula e também explicá-la em palavras claras.

Passo 2

Vamos aplicar regras básicas de lógica para negar a fórmula. Regras que usaremos (explicadas de forma direta):
  • A negação de um quantificador troca o quantificador e nega o predicado: \neg(\forall u\; P(u))\equiv \exists u\; \neg P(u) e \neg(\exists u\; P(u))\equiv \forall u\; \neg P(u).
  • A negação de uma implicação transforma-a em conjunção com a negação do consequente: \neg(P\Rightarrow Q)\equiv P\land \neg Q.
Agora aplicamos essas regras passo a passo à fórmula original. Primeiro escrevo a negação simbólica global e, em seguida, vou “empurrando” a negação para dentro trocando quantificadores:
\neg\Big(\forall \varepsilon>0,\; \exists \delta>0,\; \forall x\in D_f,\; (0<|x-x_0|<\delta)\Rightarrow(|f(x)-\ell|<\varepsilon)\Big).
Negando o primeiro quantificador \forall \varepsilon>0 obtemos \exists \varepsilon>0. Então:
\exists \varepsilon>0\; \neg\Big(\exists \delta>0,\; \forall x\in D_f,\; (0<|x-x_0|<\delta)\Rightarrow(|f(x)-\ell|<\varepsilon)\Big).
Negando agora \exists \delta>0 vira \forall \delta>0:
\exists \varepsilon>0\; \forall \delta>0\; \neg\Big(\forall x\in D_f,\; (0<|x-x_0|<\delta)\Rightarrow(|f(x)-\ell|<\varepsilon)\Big).
Negando \forall x\in D_f vira \exists x\in D_f:
\exists \varepsilon>0\; \forall \delta>0\; \exists x\in D_f\; \neg\Big((0<|x-x_0|<\delta)\Rightarrow(|f(x)-\ell|<\varepsilon)\Big).
Finalmente aplicamos \neg(P\Rightarrow Q)\equiv P\land \neg Q:
\exists \varepsilon>0\; \forall \delta>0\; \exists x\in D_f\; \big(0<|x-x_0|<\delta\big)\land \neg\big(|f(x)-\ell|<\varepsilon\big).

Passo 3

Traduzimos a última parte lógica para uma forma mais direta. A negação de |f(x)-\ell|<\varepsilon é |f(x)-\ell|\ge \varepsilon. Assim a negação final, em forma matemática limpa, fica:
\exists \varepsilon>0\; \forall \delta>0\; \exists x\in D_f\quad\text{tal que}\quad 0<|x-x_0|<\delta\\ \text{e}\\ |f(x)-\ell|\ge\varepsilon.
Explicando o que cada parte significa (para você decorar e reproduzir na prova):
  • \exists \varepsilon>0: existe um valor mínimo \varepsilon de separação (um “erro” fixo) que não conseguimos ultrapassar.
  • \forall \delta>0: para qualquer vizinhança (por menor que seja) ao redor de x_0.
  • \exists x\in D_f com 0<|x-x_0|<\delta: existe um ponto x diferente de x_0, mas tão próximo quanto essa vizinhança exige.
  • |f(x)-\ell|\ge\varepsilon: e nesse ponto x, o valor f(x) permanece afastado de \ell por pelo menos \varepsilon.

Passo 4

Agora coloco a negação em linguagem natural, do jeitinho que caíria bem na sua prova ou no enunciado: “Existe algum \varepsilon>0 tal que, não importa quão pequeno seja \delta>0, sempre posso encontrar um x no domínio, diferente de x_0 e dentro da distância \delta de x_0, para o qual f(x) fica a pelo menos \varepsilon de \ell.” Em outras palavras: há um mínimo de erro \varepsilon que não conseguimos reduzir aproximando x de x_0.

Resposta

Existe \varepsilon>0 tal que, para todo \delta>0, existe x\in D_f com 0<|x-x_0|<\delta e |f(x)-\ell|\ge\varepsilon.
\exists \varepsilon>0\; \forall \delta>0\; \exists x\in D_f\quad\big(0<|x-x_0|<\delta\big)\land\big(|f(x)-\ell|\ge\varepsilon\big).

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