Questão 2. Intuitivamente, dizemos que uma função
admite limite real
em um ponto
se pudermos aproximar arbitrariamente
de
aproximando
suficientemente de
sem atingi-lo. Em linguagem matemática, temos:
Negue esta afirmação em linguagem natural e matemática.
Passo 1
O enunciado pede que neguemos a seguinte afirmação, tanto em linguagem natural quanto em linguagem matemática. A afirmação dada é:
Informações relevantes que temos do enunciado:
O objetivo é escrever a negação dessa fórmula e também explicá-la em palavras claras.
Passo 2
Vamos aplicar regras básicas de lógica para negar a fórmula. Regras que usaremos (explicadas de forma direta):
- A negação de um quantificador troca o quantificador e nega o predicado:
e . - A negação de uma implicação transforma-a em conjunção com a negação do consequente:
.
Agora aplicamos essas regras passo a passo à fórmula original. Primeiro escrevo a negação simbólica global e, em seguida, vou “empurrando” a negação para dentro trocando quantificadores:
Negando o primeiro quantificador
obtemos
. Então:
Negando agora
vira
:
Negando
vira
:
Finalmente aplicamos
:
Passo 3
Traduzimos a última parte lógica para uma forma mais direta. A negação de
é
. Assim a negação final, em forma matemática limpa, fica:
Explicando o que cada parte significa (para você decorar e reproduzir na prova):
-
: existe um valor mínimo de separação (um “erro” fixo) que não conseguimos ultrapassar. -
: para qualquer vizinhança (por menor que seja) ao redor de . -
com : existe um ponto diferente de , mas tão próximo quanto essa vizinhança exige. -
: e nesse ponto , o valor permanece afastado de por pelo menos .
Passo 4
Agora coloco a negação em linguagem natural, do jeitinho que caíria bem na sua prova ou no enunciado: “Existe algum
tal que, não importa quão pequeno seja
, sempre posso encontrar um
no domínio, diferente de
e dentro da distância
de
, para o qual
fica a pelo menos
de
.” Em outras palavras: há um mínimo de erro
que não conseguimos reduzir aproximando
de
.
Resposta
Existe
tal que, para todo
, existe
com
e
.