Questão 3. Demonstre a seguinte propriedade. Para n, k \in \mathbb{N}^{*} :
\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}, \quad \text { sendo } \quad\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!} .

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a seguinte igualdade para n,k\in\mathbb{N}^{*}:
\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k},
sendo dada a definição
\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição explícita de \binom{n}{k} em termos de fatoriais.
  • Os índices n e k são inteiros naturais positivos ( \mathbb{N}^{*}).
    O objetivo é provar que a soma dos dois binomiais à esquerda é igual ao binomial à direita para quaisquer n,k naqueles domínios.

Passo 2

Antes de partir para a demonstração, é importante lembrar o que significam os símbolos e propriedades que usaremos.
  • Definição de fatorial: para m\in\mathbb{N} com m\ge 1,
m! = m\cdot (m-1)\cdot (m-2)\cdots 2\cdot 1,
e por convenção 0! = 1.
  • Interpretação combinatória (intuição): \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos distintos de um conjunto com n elementos, sem ordem. Aqui n é o tamanho do conjunto total e k é o tamanho da escolha.
  • Propriedade útil de fatoriais que usaremos: para m\ge 0,
(m+1)! = (m+1)\cdot m!.
Vou usar essas definições e propriedades ao longo das contas, explicando cada passo para você poder reproduzir isso na prova.

Passo 3

Demonstração por raciocínio combinatório (intuição clara e muito usada em provas):
Considere um conjunto com n+1 elementos e fixe um elemento especial desse conjunto (chame-o de x). Queremos contar o número de subconjuntos de tamanho k desse conjunto de n+1 elementos. Existem duas possibilidades para cada subconjunto de tamanho k:
  • o subconjunto contém x: nesse caso os outros k-1 elementos devem ser escolhidos entre os n restantes, o que pode ser feito de \binom{n}{k-1} maneiras;
  • o subconjunto não contém x: então todos os k elementos são escolhidos entre os n restantes, o que pode ser feito de \binom{n}{k} maneiras.
Como essas duas classes são disjuntas e cobrem todas as possibilidades, o total de subconjuntos de tamanho k é
\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}.
Mas esse total também é exatamente \binom{n+1}{k} (o número de k-subconjuntos de um conjunto com n+1 elementos). Portanto
\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k},
que é justamente a identidade a ser demonstrada. Esse argumento é curto, lógico e muito usado em contextos combinatórios (é a ideia por trás do triângulo de Pascal).

Passo 4

Demonstração algébrica usando a expressão em fatoriais (passo-a-passo das contas, sem pular etapas):
Começamos escrevendo cada termo pela definição:
\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\frac{n!}{(n-k)!k!}+\frac{n!}{(n-(k-1))!(k-1)!}.
Note que n-(k-1)=n-k+1. Então a soma fica
\frac{n!}{(n-k)!k!}+\frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}.
Vamos colocar os dois termos sobre um mesmo denominador. Um denominador comum conveniente é (n-k+1)! \, k!. Para transformar cada fração nesse denominador fazemos:
  • Primeiro termo: (n-k)!k! precisa ser multiplicado por \dfrac{n-k+1}{n-k+1} para virar (n-k+1)!k!. Assim
\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!(n-k+1)}{(n-k+1)!k!}.
  • Segundo termo: (n-k+1)!(k-1)! precisa ser multiplicado por \dfrac{k}{k} para virar (n-k+1)!k!. Assim
\frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}=\frac{n!k}{(n-k+1)!k!}.
Agora somamos as duas frações com o mesmo denominador:
\frac{n!(n-k+1)}{(n-k+1)!k!}+\frac{n!k}{(n-k+1)!k!}=\frac{n!\bigl((n-k+1)+k\bigr)}{(n-k+1)!k!}.
Dentro do parêntese no numerador simplificamos:
(n-k+1)+k = n-k+1+k = n+1.
Portanto a soma é
\frac{n!(n+1)}{(n-k+1)!k!}.
Usando a propriedade (n+1)!=(n+1)\,n! e lembrando que (n-k+1)!=(n+1-k)!, obtemos
\frac{n!(n+1)}{(n-k+1)!k!}=\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}.
Mas a expressão do lado direito é precisamente a definição de \binom{n+1}{k}:
\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}=\binom{n+1}{k}.
Assim mostramos algébrica e explicitamente que
\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}.

Passo 5

Resumo e comentário final: apresentei duas formas de provar a identidade — a argumentação combinatória (dividir os casos se o subconjunto contém ou não um elemento fixo) e a demonstração algébrica detalhada usando fatoriais e redução ao mesmo denominador. Ambas chegam à mesma conclusão; a versão combinatorial dá intuição imediata e a versão algébrica é útil quando se pede verificação por manipulação de expressões.

Resposta

\displaystyle \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}

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