Questão 3. Demonstre a seguinte propriedade. Para
:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a seguinte igualdade para
:
sendo dada a definição
Informações relevantes fornecidas:
- A definição explícita de
em termos de fatoriais. - Os índices
e são inteiros naturais positivos ( ).
O objetivo é provar que a soma dos dois binomiais à esquerda é igual ao binomial à direita para quaisquernaqueles domínios.
Passo 2
Antes de partir para a demonstração, é importante lembrar o que significam os símbolos e propriedades que usaremos.
- Definição de fatorial: para
com ,
e por convenção
.
- Interpretação combinatória (intuição):
é o número de maneiras de escolher elementos distintos de um conjunto com elementos, sem ordem. Aqui é o tamanho do conjunto total e é o tamanho da escolha. - Propriedade útil de fatoriais que usaremos: para
,
Vou usar essas definições e propriedades ao longo das contas, explicando cada passo para você poder reproduzir isso na prova.
Passo 3
Demonstração por raciocínio combinatório (intuição clara e muito usada em provas):
Considere um conjunto com elementos e fixe um elemento especial desse conjunto (chame-o de
). Queremos contar o número de subconjuntos de tamanho
desse conjunto de
elementos. Existem duas possibilidades para cada subconjunto de tamanho
:
Considere um conjunto com
- o subconjunto contém
: nesse caso os outros elementos devem ser escolhidos entre os restantes, o que pode ser feito de maneiras; - o subconjunto não contém
: então todos os elementos são escolhidos entre os restantes, o que pode ser feito de maneiras.
Como essas duas classes são disjuntas e cobrem todas as possibilidades, o total de subconjuntos de tamanho
é
Mas esse total também é exatamente
(o número de
-subconjuntos de um conjunto com
elementos). Portanto
que é justamente a identidade a ser demonstrada. Esse argumento é curto, lógico e muito usado em contextos combinatórios (é a ideia por trás do triângulo de Pascal).
Passo 4
Demonstração algébrica usando a expressão em fatoriais (passo-a-passo das contas, sem pular etapas):
Começamos escrevendo cada termo pela definição:
Note que
. Então a soma fica
Vamos colocar os dois termos sobre um mesmo denominador. Um denominador comum conveniente é
. Para transformar cada fração nesse denominador fazemos:
- Primeiro termo:
precisa ser multiplicado por para virar . Assim
- Segundo termo:
precisa ser multiplicado por para virar . Assim
Agora somamos as duas frações com o mesmo denominador:
Dentro do parêntese no numerador simplificamos:
Portanto a soma é
Usando a propriedade
e lembrando que
, obtemos
Mas a expressão do lado direito é precisamente a definição de
:
Assim mostramos algébrica e explicitamente que
Passo 5
Resumo e comentário final: apresentei duas formas de provar a identidade — a argumentação combinatória (dividir os casos se o subconjunto contém ou não um elemento fixo) e a demonstração algébrica detalhada usando fatoriais e redução ao mesmo denominador. Ambas chegam à mesma conclusão; a versão combinatorial dá intuição imediata e a versão algébrica é útil quando se pede verificação por manipulação de expressões.