Sejam A, B e C subconjuntos de E. Demonstre as seguintes proposições ou mostre que são falsas através de um contra-exemplo:
A \cap B \cap C=\varnothing \Leftrightarrow(A \backslash B) \backslash C=A \backslash(B \backslash C).

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos a equivalência
A\cap B\cap C=\varnothing \Leftrightarrow (A\setminus B)\setminus C = A\setminus(B\setminus C),
onde A,B,C são subconjuntos de um conjunto E. Ou seja, devemos provar que a igualdade entre os conjuntos (A\setminus B)\setminus C e A\setminus(B\setminus C) ocorre exatamente quando A\cap B\cap C=\varnothing, ou então mostrar que essa equivalência é falsa por meio de um contra-exemplo. As informações relevantes são apenas os três subconjuntos A,B,C e a igualdade proposta; não há mais dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar definições e identidades que usaremos (explicadas passo a passo):
  • Definição do complemento relativo / diferença: para conjuntos X,Y escrevemos
X\setminus Y = \{x\in X \mid x\notin Y\},
ou, em termos de interseção e complemento relativo, usando Y^c para o complemento de Y em E,
X\setminus Y = X\cap Y^c.
Isso diz: tirar Y de X significa ficar com os elementos de X que não estão em Y.
  • Leis de De Morgan (uma forma que usaremos): para quaisquer conjuntos P,Q,
(P\cap Q)^c = P^c\cup Q^c, \qquad (P\cup Q)^c = P^c\cap Q^c.
São úteis para transformar complementos de interseções/uniões.
Vou aplicar essas identidades para escrever as duas expressões em formas mais fáceis de comparar.

Passo 3

Calculo de (A\setminus B)\setminus C. Usando X\setminus Y = X\cap Y^c,
(A\setminus B)\setminus C = (A\cap B^c)\cap C^c.
Agrupando,
(A\setminus B)\setminus C = A\cap B^c\cap C^c.
Interpretação: este conjunto contém os elementos que estão em A e não estão nem em B nem em C. Em notação alternativa,
(A\setminus B)\setminus C = A\setminus (B\cup C).

Passo 4

Calculo de A\setminus(B\setminus C). Primeiro escrevo B\setminus C = B\cap C^c. Então,
A\setminus(B\setminus C) = A\cap (B\cap C^c)^c.
Agora uso De Morgan: (B\cap C^c)^c = B^c\cup C. Assim
A\setminus(B\setminus C) = A\cap (B^c\cup C).
Distribuindo a interseção sobre a união (identidade X\cap(Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup(X\cap Z)),
A\setminus(B\setminus C) = (A\cap B^c)\cup (A\cap C).
Interpretação: este conjunto tem elementos de duas naturezas: os que estão em A e não em B (primeiro termo) ou os que estão simultaneamente em A e em C (segundo termo).

Passo 5

Comparação dos dois lados. Resumindo:
(A\setminus B)\setminus C = A\cap B^c\cap C^c,
A\setminus(B\setminus C) = (A\cap B^c)\cup (A\cap C).
Observação imediata: todo elemento de A\cap B^c\cap C^c pertence a A\cap B^c, logo pertence à união (A\cap B^c)\cup(A\cap C). Portanto sempre vale a inclusão
(A\setminus B)\setminus C \subseteq A\setminus(B\setminus C).
A igualdade dos conjuntos ocorrerá exatamente quando tivermos também a inclusão contrária
A\setminus(B\setminus C) \subseteq (A\setminus B)\setminus C.

Passo 6

Caracterizo quando a inclusão contrária ocorre. Tome x\in A\setminus(B\setminus C). Então x pertence a (A\cap B^c) ou a (A\cap C).
  • Se x\in A\cap C, para que x esteja em (A\setminus B)\setminus C = A\cap B^c\cap C^c seria necessário que x\notin C (pois o lado direito requer C^c). Mas isso é impossível se x\in C, a menos que não existam tais x. Logo, para que toda escolha de x\in A\cap C satisfaça a inclusão, precisamos que
A\cap C = \varnothing.
  • Se x\in A\cap B^c, ainda é preciso que x\notin C para estar em A\cap B^c\cap C^c. Assim precisamos também que não existam elementos em A\cap B^c\cap C. Mas se já exigimos A\cap C=\varnothing, então A\cap B^c\cap C é automaticamente vazio (porque é subconjunto de A\cap C). Portanto a condição necessária e suficiente para a inclusão inteira ser verdadeira é simplesmente
A\cap C = \varnothing.
Concluímos: a igualdade
(A\setminus B)\setminus C = A\setminus(B\setminus C)
é equivalente a
A\cap C=\varnothing.

Passo 7

Agora compare essa condição correta com a condição do enunciado A\cap B\cap C=\varnothing. Temos sempre
A\cap C \subseteq A\cap B\cap C,
na verdade o contrário: A\cap B\cap C \subseteq A\cap C. Logo A\cap C=\varnothing implica A\cap B\cap C=\varnothing, mas a recíproca não vale: é possível que A\cap B\cap C=\varnothing enquanto A\cap C\neq\varnothing. Portanto a condição dada no enunciado é mais fraca e não é equivalente. Para demonstrar que a equivalência do enunciado é falsa apresento um contra-exemplo concreto.

Passo 8

Contra-exemplo explícito (mostrando que a equivalência é falsa). Tome
E=\{1,2,3\},\qquad A=\{1,2\},\qquad B=\{1\},\qquad C=\{2\}.
Verificações:
  • A\cap B\cap C = \{1,2\}\cap\{1\}\cap\{2\} = \varnothing. Logo a hipótese do enunciado A\cap B\cap C=\varnothing é satisfeita.
  • Calculemos os dois lados:
A\setminus B = \{1,2\}\setminus\{1\} = \{2\},
(A\setminus B)\setminus C = \{2\}\setminus\{2\} = \varnothing.
Por outro lado
B\setminus C = \{1\}\setminus\{2\} = \{1\},
A\setminus(B\setminus C) = \{1,2\}\setminus\{1\} = \{2\}.
Portanto
(A\setminus B)\setminus C = \varnothing \neq \{2\} = A\setminus(B\setminus C).
Isto mostra que, mesmo com A\cap B\cap C=\varnothing, a igualdade proposta pode falhar. Portanto a equivalência do enunciado é falsa.

Resposta

A equivalência é falsa. A igualdade (A\setminus B)\setminus C = A\setminus(B\setminus C) ocorre exatamente quando \;A\cap C=\varnothing\;. Contra-exemplo: E=\{1,2,3\},\;A=\{1,2\},\;B=\{1\},\;C=\{2\}, em que A\cap B\cap C=\varnothing mas (A\setminus B)\setminus C=\varnothing\neq\{2\}=A\setminus(B\setminus C).

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