Sejam
e
subconjuntos de
. Demonstre as seguintes proposições ou mostre que são falsas através de um contra-exemplo:
.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos a equivalência
onde
são subconjuntos de um conjunto
. Ou seja, devemos provar que a igualdade entre os conjuntos
e
ocorre exatamente quando
, ou então mostrar que essa equivalência é falsa por meio de um contra-exemplo. As informações relevantes são apenas os três subconjuntos
e a igualdade proposta; não há mais dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar definições e identidades que usaremos (explicadas passo a passo):
- Definição do complemento relativo / diferença: para conjuntos
escrevemos
ou, em termos de interseção e complemento relativo, usando
para o complemento de
em
,
Isso diz: tirar
de
significa ficar com os elementos de
que não estão em
.
- Leis de De Morgan (uma forma que usaremos): para quaisquer conjuntos
,
São úteis para transformar complementos de interseções/uniões.
Vou aplicar essas identidades para escrever as duas expressões em formas mais fáceis de comparar.
Passo 3
Calculo de
. Usando
,
Agrupando,
Interpretação: este conjunto contém os elementos que estão em
e não estão nem em
nem em
. Em notação alternativa,
Passo 4
Calculo de
. Primeiro escrevo
. Então,
Agora uso De Morgan:
. Assim
Distribuindo a interseção sobre a união (identidade
),
Interpretação: este conjunto tem elementos de duas naturezas: os que estão em
e não em
(primeiro termo) ou os que estão simultaneamente em
e em
(segundo termo).
Passo 5
Comparação dos dois lados. Resumindo:
Observação imediata: todo elemento de
pertence a
, logo pertence à união
. Portanto sempre vale a inclusão
A igualdade dos conjuntos ocorrerá exatamente quando tivermos também a inclusão contrária
Passo 6
Caracterizo quando a inclusão contrária ocorre. Tome
. Então
pertence a
ou a
.
- Se
, para que esteja em seria necessário que (pois o lado direito requer ). Mas isso é impossível se , a menos que não existam tais . Logo, para que toda escolha de satisfaça a inclusão, precisamos que
- Se
, ainda é preciso que para estar em . Assim precisamos também que não existam elementos em . Mas se já exigimos , então é automaticamente vazio (porque é subconjunto de ). Portanto a condição necessária e suficiente para a inclusão inteira ser verdadeira é simplesmente
Concluímos: a igualdade
é equivalente a
Passo 7
Agora compare essa condição correta com a condição do enunciado
. Temos sempre
na verdade o contrário:
. Logo
implica
, mas a recíproca não vale: é possível que
enquanto
. Portanto a condição dada no enunciado é mais fraca e não é equivalente. Para demonstrar que a equivalência do enunciado é falsa apresento um contra-exemplo concreto.
Passo 8
Contra-exemplo explícito (mostrando que a equivalência é falsa). Tome
Verificações:
-
. Logo a hipótese do enunciado é satisfeita. - Calculemos os dois lados:
Por outro lado
Portanto
Isto mostra que, mesmo com
, a igualdade proposta pode falhar. Portanto a equivalência do enunciado é falsa.
Resposta
A equivalência é falsa. A igualdade
ocorre exatamente quando
. Contra-exemplo:
, em que
mas
.