Questão 4. Inverta a ordem de integração.
\int_{-1}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{-1}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x,y)\,dy\right]dx.
O que é pedido: inverter a ordem de integração, ou seja, escrever a integral como uma integral em y por fora e em x por dentro, com os limites apropriados.
Informações dadas:
  • x varia em [-1,1].
  • Para cada x fixo, y varia entre y=x^{2} (limite inferior) e y=\sqrt{2-x^{2}} (limite superior).
  • A função integranda é f(x,y) (não precisamos do seu formulário explícito para inverter a ordem).

Passo 2

Vamos entender a região D do plano sobre a qual se integra. A região é
D=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; x^{2}\le y\le \sqrt{2-x^{2}}\}.
Primeiro, encontramos as interseções das curvas y=x^{2} e y=\sqrt{2-x^{2}} resolvendo
x^{2}=\sqrt{2-x^{2}}.
Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado:
x^{4}=2-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{4}+x^{2}-2=0.
Fazendo u=x^{2} obtemos u^{2}+u-2=0, cujas raízes são u=1 e u=-2 (descartamos u=-2). Logo x^{2}=1, isto é x=\pm1. Nessas abscissas temos y=1. Portanto as curvas se cruzam em (1,1) e (-1,1).
Agora determine o intervalo de y coberto por D. O menor valor de y ocorre na parábola y=x^{2} com x=0, daí y_{\min}=0. O maior valor de y ocorre na curva y=\sqrt{2-x^{2}} com x=0, daí y_{\max}=\sqrt{2}. Concluímos que
0\le y\le \sqrt{2}.

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos um y com 0\le y\le \sqrt{2} e determinamos os x que satisfazem as duas desigualdades
x^{2}\le y\quad\text{e}\quad y\le \sqrt{2-x^{2}}.
Trabalhando cada uma:
  • De x^{2}\le y (com y\ge0) segue |x|\le\sqrt{y}, isto é
-\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}.
  • De y\le \sqrt{2-x^{2}} (ambos não negativos) elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
y^{2}\le 2-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le 2-y^{2},
portanto
-\sqrt{2-y^{2}}\le x\le \sqrt{2-y^{2}}.
Ambas as condições devem valer simultaneamente, logo para um y fixo temos
|x|\le\min\bigl(\sqrt{y},\;\sqrt{2-y^{2}}\bigr).
O mínimo muda quando os dois radicais são iguais; resolvendo
\sqrt{y}=\sqrt{2-y^{2}}\quad\Longrightarrow\quad y=1
(novamente descartando raízes negativas). Assim precisamos dividir em dois subintervalos de y:
  • Para 0\le y\le 1 vale \sqrt{y}\le\sqrt{2-y^{2}}, então os limites em x são
-\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}.
  • Para 1\le y\le \sqrt{2} vale \sqrt{2-y^{2}}\le\sqrt{y}, então os limites em x são
-\sqrt{2-y^{2}}\le x\le \sqrt{2-y^{2}}.

Passo 4

Escrevendo a integral com y por fora e x por dentro, somamos as duas faixas de y encontradas:
\int_{-1}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x,y)\,dy\right]dx = \int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{1}^{\sqrt{2}}\left[\int_{-\sqrt{2-y^{2}}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x,y)\,dx\right]dy.

Resposta

\int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{1}^{\sqrt{2}}\left[\int_{-\sqrt{2-y^{2}}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x,y)\,dx\right]dy

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