Questão 4. Inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
O que é pedido: inverter a ordem de integração, ou seja, escrever a integral como uma integral em
por fora e em
por dentro, com os limites apropriados.
Informações dadas:
-
varia em . - Para cada
fixo, varia entre (limite inferior) e (limite superior). - A função integranda é
(não precisamos do seu formulário explícito para inverter a ordem).
Passo 2
Vamos entender a região
do plano sobre a qual se integra. A região é
Primeiro, encontramos as interseções das curvas
e
resolvendo
Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado:
Fazendo
obtemos
, cujas raízes são
e
(descartamos
). Logo
, isto é
. Nessas abscissas temos
. Portanto as curvas se cruzam em
e
.
Agora determine o intervalo de
coberto por
. O menor valor de
ocorre na parábola
com
, daí
. O maior valor de
ocorre na curva
com
, daí
. Concluímos que
Passo 3
Para inverter a ordem, fixamos um
com
e determinamos os
que satisfazem as duas desigualdades
Trabalhando cada uma:
- De
(com ) segue , isto é
- De
(ambos não negativos) elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
portanto
Ambas as condições devem valer simultaneamente, logo para um
fixo temos
O mínimo muda quando os dois radicais são iguais; resolvendo
(novamente descartando raízes negativas). Assim precisamos dividir em dois subintervalos de
:
- Para
vale , então os limites em são
- Para
vale , então os limites em são
Passo 4
Escrevendo a integral com
por fora e
por dentro, somamos as duas faixas de
encontradas: