Questão 4. Inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y}-1}^{e^{y}} f(x, y) d x\right] d y

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y}-1}^{e^{y}} f(x, y)\,dx\right]dy
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações relevantes que temos:
  • A variável externa y varia em [0,1].
  • Para cada y fixo, x varia entre x=e^{y}-1 (limite inferior) e x=e^{y} (limite superior).
  • A região de integração no plano (x,y) é
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\; e^{y}-1\le x\le e^{y}\}.
O objetivo: reescrever a integral como \displaystyle\int_{x=\alpha}^{\beta}\left[\int_{y=\gamma(x)}^{\delta(x)} f(x,y)\,dy\right]dx, ou seja, achar os limites em x e as funções y-limites.

Passo 2

Vamos entender geometricamente as curvas que limitam R. As duas curvas são:
x = e^{y}-1 \qquad\text{e}\qquad x = e^{y}.
Para y em [0,1] temos e^{y} variando de e^{0}=1 até e^{1}=e. Logo e^{y}-1 varia de 0 até e-1. Assim a projeção em x da região R fica entre o mínimo 0 e o máximo e. Ou seja, globalmente
0 \le x \le e.

Passo 3

Para inverter a ordem, para um x fixo precisamos achar quais y satisfazem simultaneamente
e^{y}-1 \le x \le e^{y}, \qquad\text{com}\qquad 0\le y\le1.
Iremos manipular essas desigualdades para expressar y em função de x.

Passo 4

Trabalhando nas desigualdades:
  • A desigualdade x \le e^{y} pode ser escrita, quando x>0, como
y \ge \ln x.
Para x=0 essa forma \ln x não é definida; nesse caso a condição x \le e^{y} é satisfeita para todo y, mas logo veremos o efeito disso ao restringir pelo outro limite.
  • A desigualdade e^{y}-1 \le x é equivalente a e^{y} \le x+1, que dá (sempre que x+1>0, o que é verdade aqui)
y \le \ln(x+1).
Portanto, formalmente para x>0 as duas desigualdades se tornam
\ln x \le y \le \ln(x+1).
Mas precisamos lembrar que y também deve obedecer 0\le y\le1. Então o intervalo real de y para um dado x é a interseção
y\in [0,1]\cap [\ln x,\;\ln(x+1)].

Passo 5

Agora identificamos onde os limites \ln x e \ln(x+1) cruzam os extremos 0 e 1, porque isso determina se a interseção corta pelos extremos de [0,1].
  • Resolver \ln x = 0 x=1.
  • Resolver \ln(x+1)=1 x+1 = e\Rightarrow x=e-1.
Portanto há três regimes distintos para x na projeção [0,e]:
  1. 0\le x\le 1: aqui \ln x \le 0, então o limite inferior efetivo é 0.
  2. 1\le x\le e-1: aqui \ln x \ge 0 e \ln(x+1)\le 1, então ambos os limites \ln x e \ln(x+1) ficam dentro de [0,1].
  3. e-1\le x\le e: aqui \ln(x+1)\ge 1, então o limite superior efetivo é 1.

Passo 6

Escrevendo explicitamente os intervalos de y em cada caso:
  • Para 0\le x\le 1: como \ln x\le0, a interseção é
y\in [0,\;\ln(x+1)].
Observação sobre x=0: neste caso \ln x não existe, mas a desigualdade original dá e^{y}-1\le 0\le e^{y}, que com 0\le y\le1 só é satisfeita em y=0. Isso está compatível com o limite y\in[0,\ln(0+1)]=[0,0].
  • Para 1\le x\le e-1: temos \ln x\ge0 e \ln(x+1)\le1, então
y\in [\ln x,\;\ln(x+1)].
  • Para e-1\le x\le e: como \ln(x+1)\ge1, a interseção é
y\in [\ln x,\;1].
Esses três casos cobrem toda a projeção em x, de 0 até e, sem sobreposição problemática (as fronteiras x=1 e x=e-1 casam de forma contínua).

Passo 7

Agora escrevemos a integral original invertida como soma de integrais em x, usando os limites de y que encontramos em cada intervalo de x:
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y}-1}^{e^{y}} f(x,y)\,dx\right]dy = \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{\ln(x+1)} f(x,y)\,dy\right]dx + \int_{1}^{e-1}\left[\int_{\ln x}^{\ln(x+1)} f(x,y)\,dy\right]dx + \int_{e-1}^{e}\left[\int_{\ln x}^{1} f(x,y)\,dy\right]dx.
Cada um desses termos corresponde, respectivamente, aos casos 0\le x\le1, 1\le x\le e-1 e e-1\le x\le e.

Resposta

\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y}-1}^{e^{y}} f(x,y)\,dx\right]dy = \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{\ln(x+1)} f(x,y)\,dy\right]dx + \int_{1}^{e-1}\left[\int_{\ln x}^{\ln(x+1)} f(x,y)\,dy\right]dx + \int_{e-1}^{e}\left[\int_{\ln x}^{1} f(x,y)\,dy\right]dx

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