Questão 4. Inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A variável externa
varia em . - Para cada
fixo, varia entre (limite inferior) e (limite superior). - A região de integração no plano
é
O objetivo: reescrever a integral como
, ou seja, achar os limites em
e as funções
-limites.
Passo 2
Vamos entender geometricamente as curvas que limitam
. As duas curvas são:
Para
em
temos
variando de
até
. Logo
varia de
até
. Assim a projeção em
da região
fica entre o mínimo
e o máximo
. Ou seja, globalmente
Passo 3
Para inverter a ordem, para um
fixo precisamos achar quais
satisfazem simultaneamente
Iremos manipular essas desigualdades para expressar
em função de
.
Passo 4
Trabalhando nas desigualdades:
- A desigualdade
pode ser escrita, quando , como
Para
essa forma
não é definida; nesse caso a condição
é satisfeita para todo
, mas logo veremos o efeito disso ao restringir pelo outro limite.
- A desigualdade
é equivalente a , que dá (sempre que , o que é verdade aqui)
Portanto, formalmente para
as duas desigualdades se tornam
Mas precisamos lembrar que
também deve obedecer
. Então o intervalo real de
para um dado
é a interseção
Passo 5
Agora identificamos onde os limites
e
cruzam os extremos
e
, porque isso determina se a interseção corta pelos extremos de
.
- Resolver
dá . - Resolver
dá .
Portanto há três regimes distintos para
na projeção
:
-
: aqui , então o limite inferior efetivo é . -
: aqui e , então ambos os limites e ficam dentro de . -
: aqui , então o limite superior efetivo é .
Passo 6
Escrevendo explicitamente os intervalos de
em cada caso:
- Para
: como , a interseção é
Observação sobre
: neste caso
não existe, mas a desigualdade original dá
, que com
só é satisfeita em
. Isso está compatível com o limite
.
- Para
: temos e , então
- Para
: como , a interseção é
Esses três casos cobrem toda a projeção em
, de
até
, sem sobreposição problemática (as fronteiras
e
casam de forma contínua).
Passo 7
Agora escrevemos a integral original invertida como soma de integrais em
, usando os limites de
que encontramos em cada intervalo de
:
Cada um desses termos corresponde, respectivamente, aos casos
,
e
.