Questão 4. Inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede para inverter a ordem de integração. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A variável externa
varia em . - Para cada
fixo nessa faixa, a variável interna varia em . - A função integrada é
(assume-se que é integrável na região em questão).
O que se pede: reescrever a integral trocando a ordem de integração, isto é, escrever a mesma integral como.
Passo 2
Descrever a região de integração
no plano
a partir dos limites dados. A integral original corresponde à região
Em palavras: é o conjunto dos pontos entre o eixo
e a curva
, com
indo de
até
. A curva
em
começa em
, sobe até
em
e desce de volta a
em
.
Passo 3
Determinar o intervalo possível para
(ou seja, os valores mínimos e máximos que
assume na região). Como sobre
a função
varia entre
e
, segue que
Portanto o novo integral em
terá limites exteriores de
até
.
Passo 4
Para fixar um
com
, achar para quais
temos
. Isso equivale a resolver
ou seja, encontrar as interseções da reta horizontal
com a curva
. A equação
em
tem duas soluções simétricas em torno de
:
Justificativa rápida: em
a função
é crescente e atinge
em
; em
é decrescente e atinge o mesmo
em
. Para um
fixo entre
e
, os pontos da região
têm
entre essas duas abscissas. Nos extremos: se
então
e
; se
então
e as duas soluções coincidem.
Passo 5
Concluir os novos limites e escrever a integral com a ordem trocada. Para cada
temos
variando de
até
. Assim a integral com ordem invertida é
assumindo a condição usual de integrabilidade que permite trocar a ordem (teorema de Fubini/Tonelli).
Passo 6
Cheque rápido (opcional, para ganhar confiança): tomar
deve dar a mesma área calculada pelas duas ordens.
- Integral original:
- Integral invertida:
Para avaliar
usa integração por partes:
. Assim
igual ao resultado anterior, confirmando os limites encontrados.