Questão 4. Inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{\pi}\left[\int_{0}^{\operatorname{sen} x} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{0}^{\pi}\left[\int_{0}^{\operatorname{sen} x} f(x,y)\,dy\right]dx
e pede para inverter a ordem de integração. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A variável externa x varia em 0\le x\le\pi.
  • Para cada x fixo nessa faixa, a variável interna y varia em 0\le y\le \operatorname{sen} x.
  • A função integrada é f(x,y) (assume-se que é integrável na região em questão).
    O que se pede: reescrever a integral trocando a ordem de integração, isto é, escrever a mesma integral como \displaystyle\int_{y=\text{?}}^{\text{?}}\!\left[\int_{x=\text{?}}^{\text{?}} f(x,y)\,dx\right]dy.

Passo 2

Descrever a região de integração D no plano (x,y) a partir dos limites dados. A integral original corresponde à região
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le\pi,\; 0\le y\le \sin x\}.
Em palavras: é o conjunto dos pontos entre o eixo y=0 e a curva y=\sin x, com x indo de 0 até \pi. A curva y=\sin x em 0\le x\le\pi começa em 0, sobe até 1 em x=\tfrac{\pi}{2} e desce de volta a 0 em x=\pi.

Passo 3

Determinar o intervalo possível para y (ou seja, os valores mínimos e máximos que y assume na região). Como sobre 0\le x\le\pi a função \sin x varia entre 0 e 1, segue que
0\le y\le 1.
Portanto o novo integral em y terá limites exteriores de y=0 até y=1.

Passo 4

Para fixar um y com 0<y<1, achar para quais x temos (x,y)\in D. Isso equivale a resolver
y\le \sin x,\qquad 0\le x\le\pi,
ou seja, encontrar as interseções da reta horizontal y=\text{const} com a curva y=\sin x. A equação \sin x=y em [0,\pi] tem duas soluções simétricas em torno de \tfrac{\pi}{2}:
x=\arcsin y\qquad\text{e}\qquad x=\pi-\arcsin y.
Justificativa rápida: em [0,\tfrac{\pi}{2}] a função \sin x é crescente e atinge y em x=\arcsin y; em [\tfrac{\pi}{2},\pi] é decrescente e atinge o mesmo y em x=\pi-\arcsin y. Para um y fixo entre 0 e 1, os pontos da região D têm x entre essas duas abscissas. Nos extremos: se y=0 então \arcsin 0=0 e \pi-\arcsin 0=\pi; se y=1 então \arcsin 1=\tfrac{\pi}{2} e as duas soluções coincidem.

Passo 5

Concluir os novos limites e escrever a integral com a ordem trocada. Para cada y\in[0,1] temos x variando de x=\arcsin y até x=\pi-\arcsin y. Assim a integral com ordem invertida é
\int_{0}^{1}\left[\int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} f(x,y)\,dx\right]dy,
assumindo a condição usual de integrabilidade que permite trocar a ordem (teorema de Fubini/Tonelli).

Passo 6

Cheque rápido (opcional, para ganhar confiança): tomar f(x,y)=1 deve dar a mesma área calculada pelas duas ordens.
  • Integral original:
\int_{0}^{\pi}\left[\int_{0}^{\sin x} 1\,dy\right]dx=\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi}=2.
  • Integral invertida:
\int_{0}^{1}\left[\int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y}1\,dx\right]dy=\int_{0}^{1}\bigl(\pi-2\arcsin y\bigr)dy.
Para avaliar \displaystyle\int_{0}^{1}\arcsin y\,dy usa integração por partes: \displaystyle\int\arcsin y\,dy = y\arcsin y+\sqrt{1-y^{2}}+C. Assim
\int_{0}^{1}\bigl(\pi-2\arcsin y\bigr)dy=\pi\cdot 1-2\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-1\Bigr)=2,
igual ao resultado anterior, confirmando os limites encontrados.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} f(x,y)\,dx\right]dy

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